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证明：​$(1) $​∵​$F $​是​$AD$​的中点，
∴​$AF = DF$​。
​$ $​在​$△ AEF $​和​$△ DHF_{中}$​，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {AF} = DF， \\∠ AFE = ∠ DFH， \\FE = FH， \end {cases}$​
∴​$△ AEF ≌ △ DHF (\mathrm {SAS})$​。
​$ (2) $​∵​$△ AEF ≌ △ DHF$​，
∴​$AE = DH$​，​$∠ AEF = ∠ DHF$​，
∴​$AB // DH$​，
∴​$∠ B = ∠ HDC$​。
∵​$AE = CD$​，
∴​$DH = CD$​。
​$ $​在​$△ HGD$​和​$△ CGD$​中，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {DH} = DC， \\HG = CG， \\DG = DG， \end {cases}$​
∴​$△ HGD ≌ △ CGD (\mathrm {SSS})$​，
∴​$∠ HDG = ∠ CDG$​，
∴​$∠ HDC = 2∠ GDC$​，
∴​$∠ B = 2∠ GDC$​。
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解：​$(1) $​作​$∠ BAC$​的平分线​$AD$​，交​$BC$​于​$D$​，
则​$∠ BAD = ∠ CAD$​。
​$ $​在​$△ ABD$​和​$△ ACD$​中，
​$ \begin {cases} ∠ BAD = ∠ CAD， \\∠ B = ∠ C， \\AD = AD， \end {cases}$​
∴​$△ ABD ≌ △ ACD (\mathrm {AAS})$​，
∴​$AB = AC$​。
​$ (2) $​∵​$MM' // NN'$​，
∴​$∠ MM'N = ∠ NN'M'$​。
∵点​$O$​为线段​$MN$​的中点，∴​$OM = ON$​。
​$ $​在​$△ MOM'$​和​$△ NON'$​中，
​$ \begin {cases} ∠ MM'N = ∠ NN'M'， \\∠ MOM' = ∠ NON'， \\OM = ON， \end {cases}$​
∴​$△ MOM' ≌ △ NON' (\mathrm {AAS})$​，
∴​$MM' = NN'$​。
​$ (3) $​结论：​$AB = AF + CF$​，证明如下：
​$ $​连接​$FE$​并延长交​$AB$​于​$G$​，
∵​$AB // DC$​，
∴​$∠ B = ∠ ECF$​。
∵​$E$​为​$BC$​边的中点，
∴​$BE = CE$​。
​$ $​在​$△ BEG $​和​$△ CEF_{中}$​，
​$ \begin {cases} ∠ B = ∠ ECF， \\BE = CE， \\∠ BEG = ∠ CEF， \end {cases}$​
∴​$△ BEG ≌ △ CEF (\mathrm {ASA})$​，
∴​$EF = EG$​，​$BG = CF$​。
​$ $​延长​$AE$​到​$H$​，使​$AE = EH$​，连接​$FH$​。
​$ $​在​$△ AEG $​和​$△ HEF_{中}$​，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {AE} = HE， \\∠ AEG = ∠ HEF， \\EG = EF， \end {cases}$​
∴​$△ AEG ≌ △ HEF (\mathrm {SAS})$​，
∴​$AG = HF$​，​$∠ BAE = ∠ H$​。
∵​$∠ BAE = ∠ EAF$​，
∴​$∠ H = ∠ EAF$​，
​$ $​由等角对等边可得​$AF = HF$​，
∴​$AG = AF$​。
∵​$AB = AG + BG$​，
∴​$AB = AF + CF$​。
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