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证明：​$(1)$​∵​$ $​点​$A，D，C，B$​在同一条直线上，
​$AD=BC$​，
∴​$ AD+DC=BC+DC$​，即​$AC=BD$​。
又∵​$ AE=BF$​，​$CE=DF$​，
∴​$ △ ACE ≌ △ BDF(\mathrm {SSS})$​，
∴​$ ∠ EAC=∠ FBD$​，
∴​$ AE// FB$​。
​$ (2)$​∵​$ EF_{交}CD$​于点​$G$​，
∴​$ ∠ AGE=∠ BGF$​。
又∵​$ ∠ EAC=∠ FBD$​，​$AE=BF$​，
∴​$ △ AGE ≌ △ BGF(\mathrm {AAS})$​，
∴​$ AG=BG$​。
∵​$ AD=BC$​，
∴​$ AG-AD=BG-BC$​，
即​$DG=CG$​，
故​$CG=DG$​。
解：​$ (1)\ \mathrm {EG}=FG$​，理由如下：
∵​$ DE⊥ AC$​，​$BF⊥ AC$​，
∴​$ ∠ BFA=∠ DEC=90°$​。
∵​$ AE=CF$​，
∴​$ AE-EF=CF-EF$​，即​$AF=CE$​。
​$ $​在​$Rt△ ABF $​和​$Rt△ CDE$​中，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {AB}=CD \\AF=CE \end {cases}$​
∴​$ Rt△ ABF ≌ Rt△ CDE(\mathrm {HL})$​，
∴​$ BF=DE$​。
​$ $​在​$△ BFG $​和​$△ DEG_{中}$​，
​$ \begin {cases} ∠ BGF=∠ DGE \\∠ BFG=∠ DEG=90° \\BF=DE \end {cases}$​
∴​$ △ BFG ≌ △ DEG(\mathrm {AAS})$​，
∴​$ EG=FG$​。
​$ (2) $​上述结论仍然成立，理由如下：
∵​$ DE⊥ AC$​，​$BF⊥ AC$​，
∴​$ ∠ BFA=∠ DEC=90°$​。
∵​$ AE=CF$​，
∴​$ AE+EF=CF+EF$​，即​$AF=CE$​。
​$ $​在​$Rt△ ABF $​和​$Rt△ CDE$​中，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {AB}=CD \\AF=CE \end {cases}$​
∴​$ Rt△ ABF ≌ Rt△ CDE(\mathrm {HL})$​，
∴​$ BF=DE$​。
​$ $​在​$△ BFG $​和​$△ DEG_{中}$​，
​$ \begin {cases} ∠ BFG=∠ DEG\\∠ BGF=∠ DGE \\BF=DE \end {cases}$​
∴​$ △ BFG ≌ △ DEG(\mathrm {AAS})$​，
∴​$ EG=FG$​。
$90$
解：​$ (2) ① α + β = 180°$​，理由如下：
∵​$ ∠ BAC=∠ DAE$​，
∴​$ ∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$​，
即​$∠ BAD=∠ CAE$​。
​$ $​在​$△ ABD$​与​$△ ACE$​中，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {AB}=AC \\∠ BAD=∠ CAE \\AD=AE \end {cases}$​
∴​$ △ ABD ≌ △ ACE(\mathrm {SAS})$​，
∴​$ ∠ B=∠ ACE$​，
∴​$ ∠ B + ∠ ACB = ∠ ACE + ∠ ACB$​，
即​$∠ BCE=∠ B+∠ ACB=β$​。
∵​$ $​在​$△ ABC$​中，​$α + ∠ B + ∠ ACB = 180°$​，
∴​$ α + β = 180°$​。
② 分两种情况讨论：
当点​$D$​在点​$C$​右侧时，​$α + β = 180°$​。
理由：
∵​$ ∠ BAC=∠ DAE$​，
∴​$ ∠ BAC + ∠ CAD = ∠ DAE + ∠ CAD$​，
即​$∠ BAD=∠ CAE$​。
​$ $​在​$△ ABD$​和​$△ ACE$​中，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {AB}=AC \\∠ BAD=∠ CAE \\AD=AE \end {cases}$​
∴​$ △ ABD ≌ △ ACE(\mathrm {SAS})$​，
∴​$ ∠ ABD=∠ ACE$​。
∵​$ ∠ BAC + ∠ ABD + ∠ BCA = 180°$​，
∴​$ ∠ BAC + ∠ BCE $​
​$= ∠ BAC + ∠ BCA + ∠ ACE$​
​$ = ∠ BAC + ∠ BCA + ∠ B $​
​$= 180°$​，
​$ $​即​$ α + β = 180°$​。
当点​$D$​在点​$B$​左侧时，​$α = β$​。
理由：
∵​$ ∠ DAE=∠ BAC$​，
∴​$ ∠ DAE - ∠ BAE = ∠ BAC - ∠ BAE$​，
即​$∠ DAB=∠ EAC$​。
​$ $​在​$△ ADB$​和​$△ AEC$​中，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {AD}=AE ∠ DAB=∠ EAC \\AB=AC \end {cases}$​
∴​$ △ ADB ≌ △ AEC(\mathrm {SAS})$​，
∴​$ ∠ ABD=∠ ACE$​。
∵​$ ∠ ABD = ∠ BAC + ∠ ACB$​，
​$∠ ACE = ∠ BCE + ∠ ACB$​，
∴​$ ∠ BAC = ∠ BCE$​，即​$ α = β$​。
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