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C
12
$30°$
解：如图，点P即为所求。

证明：
∵ D 是线段 BC 的中点，
∴ $BD = CD.$
根据画图过程，得 $AB = AC.$
在$△ ABD$ 和$△ ACD$ 中，
$\begin{cases} AB = AC, \\ BD = CD, \\ AD = AD, \end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ ACD(\mathrm{SSS})，$
∴ $∠ ADB = ∠ ADC = \frac{1}{2} × 180° = 90°，$
∴ $AD ⊥ BC，$
∴ 直线 AD 是 BC 的垂直平分线.
∵ 点 E 在 AD 上，
∴ $BE = CE.$
证明：连接$AE，$$CE.$
∵ $AC，$$BD$ 的垂直平分线 $EM，$$EN$ 相交于点 $E，$
∴ $AE = CE，$$BE = DE.$
在$△ ABE$ 和$△ CDE$ 中，
$\begin{cases} AB = CD, \\ BE = DE, \\ AE = CE, \end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ CDE(\mathrm{SSS})，$
∴ $∠ ABE = ∠ CDE.$
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