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证明：
连接$BD。$
$\because AD=AB，$
$\therefore ∠ ADB = ∠ ABD。$
$\because ∠ ADC = ∠ ABC，$
$\therefore ∠ ADC - ∠ ADB = ∠ ABC - ∠ ABD，$即$∠ BDC = ∠ DBC，$
$\therefore CD=CB。$

证明：
​$ (1) $​过点​$E$​作​$EF⊥ BC$​于点​$F$​。
∵​$BE=CE$​，​$EF⊥ BC$​，
∴​$∠ CEF = ∠ BEF = \frac {1}{2}∠ BEC$​。
∵​$EF⊥ BC$​，​$AD⊥ BC$​，
∴​$EF// AD$​，
∴​$∠ CEF = ∠ AGE$​，
∴​$∠ AGE = \frac {1}{2}∠ BEC$​，即​$∠ BEC=2∠ AGE$​。
​$ (2) $​解法一：
​$ $​由​$(1)$​得​$EF// AD$​，
∴​$∠ BEF = ∠ BAD$​，​$∠ CEF = ∠ AGE$​。
∵​$∠ CEF = ∠ BEF$​，
∴​$∠ AGE = ∠ BAD$​，
∴​$EA = EG$​，
∴​$△ AEG $​是等腰三角形。
解法二：
∵​$∠ BEC$​是​$△ AEG $​的外角，
∴​$∠ BEC = ∠ EAG + ∠ AGE$​。
​$ $​由​$(1)$​得​$∠ BEC = 2∠ AGE$​，
∴​$∠ EAG + ∠ AGE = 2∠ AGE$​，即​$∠ EAG = ∠ AGE$​，
∴​$EA = EG$​，
∴​$△ AEG $​是等腰三角形。
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