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$l_甲=l_乙＞l_丙$
证明：
∵​$DE⊥ AB$​，​$DF⊥ BC$​，
∴​$∠ AED=∠ CFD=90°$​。
∵​$D$​为​$AC$​的中点，
∴​$AD=CD$​。
​$ $​在​$Rt△ AED $​和​$Rt△ CFD $​中，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {AD}=CD，\\DE=DF， \end {cases}$​
∴​$Rt△AED≌Rt△CFD (\mathrm {HL})$​，
∴​$∠ A=∠ C$​，
∴​$AB=BC$​。
∵​$AB=AC$​，
∴​$AB=BC=AC$​，
∴​$△ ABC$​是等边三角形
(1)证明：
$\because △ ABC，$$△ CDE$均为等边三角形，
$\therefore AC=BC，$$CD=CE，$$∠ ACB=∠ DCE=60°，$
$\therefore ∠ ACB+∠ BCE=∠ DCE+∠ BCE，$即$∠ ACE=∠ BCD。$
在$△ ACE$和$△ BCD$中，
$\begin{cases} AC=BC,\\ ∠ ACE=∠ BCD,\\ CE=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ACE≌△ BCD\ (\mathrm{SAS})，$
$\therefore AE=BD。$
(2)解：
$\because △ ACE≌△ BCD，$
$\therefore ∠ CAE=∠ CBD。$
又$\because △ APC$与$△ BPO$的内角和均为$180°，$$∠ APC=∠ BPO，$
$\therefore ∠ BOP=∠ ACP=60°，$即$∠ AOB=60°$
​$ (1)$​解：
∵​$△ ABC$​是等边三角形，
∴​$AC=BC$​，​$∠ ACB=60°$​。
∵​$D$​是​$AB$​的中点，
∴​$∠ DCB=∠ DCA=\frac {1}{2}∠ ACB=\frac {1}{2}×60°=30°$​。
∵​$CE⊥ BC$​，
∴​$∠ BCE=90°$​，
∴​$∠ DCE=∠ BCE-∠ DCB=60°$​。
​$ (2)$​证明：
由平移可知，​$CD// EF$​，
∴​$∠ EAC=∠ DCA=30°$​。
∵​$∠ ECA=∠ BCE-∠ ACB=30°$​，
∴​$∠ EAC=∠ ECA$​，
∴​$AE=CE$​，​$∠ AEC=120°$​。
∵​$△ ABC$​是等边三角形，
∴​$AB=CB$​，
∴​$BE$​垂直平分​$AC$​，
∴​$∠ GEC=\frac {1}{2}∠ AEC=\frac {1}{2}×120°=60°$​。
​$ $​由​$(1)$​知，​$∠ GCE=60°$​，
∴​$∠ EGC=60°$​，
∴​$∠ GEC=∠ GCE=∠ EGC$​，
∴​$△ CEG $​是等边三角形
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