解：
$ (1) $如图所示
$ (2) $解法一：在$DA$上截取$GD = CD$，连接$GE$。
∵$DE$是$∠ ADC$的平分线，
∴$∠ GDE = ∠ CDE$。
$ $在$△ GDE$和$△ CDE $中，
$ \begin {cases}\ \mathrm {GD} = CD， \\∠ GDE = ∠ CDE， \\DE = DE， \end {cases}$
∴$△ GDE ≌ △ CDE(\mathrm {SAS})$，
∴$∠ DGE = ∠ C = 90°$，$∠ DEG = ∠ DEC = \frac {1}{2}∠ CEG$，
∴$∠ AGE = 180° - ∠ DGE = 90°$，
∴$∠ AGE = ∠ B = 90°$，即$△ AGE$和$△ ABE$均是直角三角形。
∵$AD = AG + GD = AB + CD$，$GD = CD$，
∴$AG = AB$。
$ $在$Rt△ AEG $和$Rt△ AEB $中，
$ \begin {cases}\ \mathrm {AE} = AE， \\AG = AB， \end {cases}$
∴$Rt△ AEG ≌ Rt△ AEB(\mathrm {HL})$，
∴$∠ AEG = ∠ AEB = \frac {1}{2}∠ BEG$，
∴$∠ AED = ∠ DEG + ∠ AEG $
$= \frac {1}{2}(∠ CEG + ∠ BEG) = \frac {1}{2} × 180° = 90°$，
∴$AE ⊥ DE$。
解法二：延长$DE$，与$AB$的延长线交于点$F$。
∵$∠ ABC = ∠ C = 90°$，$∠ ABC + ∠ EBF = 180°$，
∴$∠ EBF = ∠ C = 90°$。
∵$△ DCE$与$△ FBE$的内角和均为$180°$，$∠ DEC = ∠ FEB$，
∴$∠ CDE = ∠ F$。
∵$DE$是$∠ ADC$的平分线，
∴$∠ CDE = ∠ ADF$，
∴$∠ ADF = ∠ F$，
∴$AD = AF$，即$AD = AB + BF$。
∵$AD = AB + CD$，
∴$BF = CD$。
$ $在$△ BFE$和$△ CDE $中，
$ \begin {cases} ∠ EBF = ∠ C， \\∠ BEF = ∠ CED， \\BF = CD， \end {cases}$
∴$△ BFE ≌ △ CDE(\mathrm {AAS})$，
∴$FE = DE$，
∴$AE ⊥ DE$。
