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信息发布者：
$40°$或$100°$
$10°$或$100°$
解：由尺规作图，可知$AB = AD = BC = DC，$
$\therefore ∠ ABD = ∠ ADB。$
$\because$ 在$△ ABD$中，$∠ A=40°，$
$\therefore ∠ ADB = \frac{1}{2}(180° - ∠ A)=70°。$
在$△ ABD$和$△ CBD$中，
$\begin{cases} AB=CB,\\ AD=CD,\\ BD=BD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ CBD(\mathrm{SSS})，$
$\therefore ∠ ADB = ∠ CDB = 70°。$
D
$80°$或$20°$或$50°$
证明：
解法一：延长​$AD$​到点​$E$​，使​$DE=AD$​，连接​$CE$​。

∵​$AD$​为​$BC$​上的中线，
∴​$BD=CD$​。
​$ $​在​$△ ABD$​和​$△ ECD $​中，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {AD}=ED，\\∠ ADB = ∠ EDC，\\BD=CD， \end {cases}$​
∴​$△ ABD ≌ △ ECD(\mathrm {SAS})$​，
∴​$∠ BAD = ∠ E$​，​$AB=EC$​。
又∵​$AD$​平分​$∠ BAC$​，
∴​$∠ BAD = ∠ CAD$​，
∴​$∠ CAD = ∠ E$​，
∴​$AC=EC$​，
∴​$AB=AC$​，
∴​$△ ABC$​为等腰三角形。
解法二：过点​$D$​作​$DE⊥ AB$​于点​$E$​，​$DF⊥ AC$​于点​$F$​。

∵​$AD$​平分​$∠ BAC$​，​$DE⊥ AB$​，​$DF⊥ AC$​，
∴​$DE=DF$​，​$∠ DEB = ∠ DFC = 90°$​。
∵​$AD$​为​$BC$​上的中线，
∴​$BD=CD$​。
​$ $​在​$Rt△ DEB $​和​$Rt△ DFC $​中，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {BD}=CD，\\DE=DF， \end {cases}$​
∴​$Rt△ DEB ≌ Rt△ DFC(\mathrm {HL})$​，
∴​$∠ B = ∠ C$​，
∴​$AB=AC$​，
∴​$△ ABC$​为等腰三角形。
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