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第61页

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$\sqrt{10}$

 证明：

 由题意，易得$AB^2 = EF^2 = 1^2 + 2^2 =5，$
$AC^2 = ED^2 = 1^2 +3^2=10，$

$BC^2 = FD^2 =1^2 +4^2=17。$

 $\therefore AB=EF，$$AC=ED，$$BC=FD。$

 在$△ ABC$和$△ EFD$中，

 $\begin{cases} AB=EF,\\ BC=FD,\\ AC=ED, \end{cases}$

 $\therefore △ ABC ≌ △ EFD \ (\mathrm{SSS})，$

 $\therefore ∠ ABC = ∠ EFD。$

 解：

 $\because$ 四边形$ABCD$是长方形，

 $\therefore ∠ A = ∠ D =90°，$$CD=AB=3，$$AD=BC=5。$

 $\because CE$是折痕，

 $\therefore FC=BC=5，$$EF=BE。$

 $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，$DF^2 + CD^2 = FC^2，$

 $\therefore DF^2 = FC^2 - CD^2 =5^2 -3^2=16，$

 $\therefore DF=4，$

 $\therefore AF=AD-DF=1。$

 设$AE=x，$则$BE=EF=3-x。$

 $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$EF^2 = AE^2 + AF^2，$

 $\therefore (3-x)^2 = x^2 +1^2，$

 解得$x=\frac{4}{3}，$

 $\therefore AE=\frac{4}{3}。$