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120
990
2
99630
12630
8880
42或48
B
B
D
B
答：3本日记本的总价一定是3的倍数，35各位上的数字之和是3+5=8，8不是3的倍数，所以35不是3的倍数，总价不可能是35元，因此莉莉认为不对。
0,9
5
0,9
4
8
2
33
【分析】
我们可以分步骤推导：第一步先根据同时是2和5的倍数的数的特征，先确定这个三位数的个位数字只能是0，直接缩小候选数的范围；第二步结合3的倍数的特征，也就是各个数位上的数字之和是3的倍数，分别去寻找最小和最大的符合要求的三位数：要找最小的三位数，首先百位要取最小的非零自然数1，再找最小的十位数字让百位+十位+个位的和是3的倍数，就能得到最小数；要找最大的三位数，百位优先取最大的一位数9，十位也优先取最大的一位数9，验证数字和是否是3的倍数，符合就直接得到最大数。
【解析】
1. 确定个位数字：同时是2和5的倍数的数，个位必须是0，因此这个三位数的个位固定为0，形式为$\overline{ab0}$。
2. 求最小的符合条件的三位数：
三位数的百位最小是1，要满足$1 + b + 0$是3的倍数，最小的非负整数b取值为2（1+2=3，是3的倍数），因此这个最小三位数是120。
3. 求最大的符合条件的三位数：
三位数的百位最大是9，要让数尽可能大，十位优先取最大的一位数9，此时数字和为$9+9+0=18$，18是3的倍数，完全符合要求，因此这个最大三位数是990。
【答案】120；990
【知识点】2、3、5的倍数特征
【点评】本题属于数的倍数特征的基础应用题，解题核心是先通过2和5的共同倍数特征锁定个位，大幅缩小筛选范围，再结合极值要求推导百位、十位的取值，思路清晰就不容易出现错漏。
【难度系数】0.8
【分析】
我们先观察计数器，数出当前各数位的珠子数量：百位1颗，十位2颗，个位1颗，算出所有珠子的总数为4。接下来回忆3的倍数的判定规则：一个数是3的倍数时，它所有数位上的数字相加的和必须是3的倍数，而数位上的数字恰好等于对应数位摆放的珠子数，因此数位数字之和就等于全部珠子的总数量。现在总和是4，我们找到比4大的最小的3的倍数是6，用6减去现有的珠子总数4，就能算出至少需要添的珠子数量。
【解析】
1. 计算现有珠子总数：
百位有1颗珠子，十位有2颗珠子，个位有1颗珠子，总珠子数 = 1+2+1 = 4。
2. 结合3的倍数特征分析：
3的倍数要求各数位数字之和为3的倍数，本题中数位数字之和等于珠子总数量，大于4的最小3的倍数是6。
3. 计算需要添加的珠子数：
6 - 4 = 2，因此至少再添上2颗珠子就能拨出3的倍数。
【答案】2
【知识点】3的倍数特征，计数器认识
【点评】本题结合计数器场景考察3的倍数相关知识点，不需要调整现有珠子的位置，直接利用数位和等于珠子总数的特点快速推导结果，避免了逐个试数的繁琐，能帮助学生深化对3的倍数判定规则的理解。
【难度系数】0.7
【分析】
我们可以分步推导：首先回忆同时是2和5的倍数的数的特征，能直接确定这个五位数的个位数字，接下来结合3的倍数的特征，也就是各位数字之和是3的倍数，再分别按照“数最大则高位数字尽可能大”、“数最小则高位数字尽可能小（注意五位数首位不能为0）”的规则，推导前两个空缺数位的取值，就能得到符合要求的最大数和最小数。
【解析】
1. 确定个位数字：同时是2和5的倍数的数，个位必须是0，因此这个五位数的最后一个方框只能填0。
2. 计算已知数位的数字和：已知数位的数字为6、3、0，它们的和是6+3+0=9，9本身是3的倍数，因此只需要前两位（万位+千位）的数字和是3的倍数，就能满足整个数是3的倍数。
3. 求最大的数：要让五位数最大，万位优先取最大的一位数9，此时要让千位尽可能大，9加上千位的数是3的倍数，最大的符合条件的千位数字是9（9+9=18，18是3的倍数），因此前两位是99，得到最大数为99630。
4. 求最小的数：五位数的万位不能为0，最小取1，此时要让千位尽可能小，1加上千位的数是3的倍数，最小的符合条件的千位数字是2（1+2=3，3是3的倍数，千位取0、1时都不满足和为3的倍数），因此前两位是12，得到最小数为12630。
【答案】
99630；12630
【知识点】
2、3、5的倍数特征
【点评】
本题属于数的整除特征的基础应用题，解题的核心突破口是先通过2和5的公共倍数特征直接锁定个位为0，大幅简化后续推导过程，需要注意五位数的首位不能取0的隐含要求，避免推导最小数时出现错误。
【难度系数】
0.7
【分析】
我们要找满足条件的最小自然数A，第一步先把15分解为两个互质数的乘积：15=3×5，根据整除的性质，A是15的倍数就需要同时是3和5的倍数。接下来先从限制条件更严格的5的倍数特征入手：5的倍数个位只能是0或5，题目要求所有数位只能是0或8，所以个位不可能是5，直接确定A的个位必须是0。接下来再满足3的倍数的要求：3的倍数的所有数位数字之和是3的倍数，由于数位上只能是0和8，0不会改变数字和的大小，因此所有数位上的8的和需要是3的倍数，8和3互质，所以8的个数必须是3的倍数，最小就是3个8。要让A最小，位数越少越好，3个8加上个位的0，排列出来的最小数就是把三个8放在高位，0放在个位，得到最终结果。
【解析】
解：
1. 拆分因数：因为15=3×5，且3和5互质，因此A需要同时满足是3的倍数、是5的倍数两个条件。
2. 满足5的倍数要求：5的倍数的个位数字只能是0或5，结合题目要求各数位仅能为0或8，因此A的个位只能是0。
3. 满足3的倍数要求：3的倍数的各数位数字之和是3的倍数，由于数位仅能取0和8，数字和等价于所有8的和，要让和是3的倍数，且A尽可能小，需要8的数量最少。因为8与3互质，最小的满足“8的个数×8是3的倍数”的正整数是3，即最少需要3个8。
4. 组合出最小数：将3个8放在高位，个位放0，得到最小的数为8880。
【答案】
8880
【知识点】
3的倍数特征，5的倍数特征，整除性质
【点评】
本题属于数的整除基础应用题，核心思路是将复合倍数拆解为两个互质因数的倍数分别推导，优先选择限制条件多的5的倍数确定个位，再推导满足3的倍数的最少数字个数，无需盲目枚举就能快速得到最小结果，锻炼了分步推导的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
【分析】
我们可以分两步梳理解题思路：首先明确题目给出的所有限定条件：①全班人数在40~50之间；②人数是偶数；③每3人一组刚好分完没有剩余，说明总人数是3的倍数。我们先在40~50的范围内找出所有是3的倍数的数，再从中筛选出符合偶数要求的数，就能得到最终结果。
【解析】
1. 先找出40~50之间所有3的倍数：
根据3的倍数的特征，各位数字之和是3的倍数的数本身是3的倍数，在40~50区间内，符合要求的数有42、45、48。
2. 结合“全班人数为偶数”的条件筛选：
上述三个数里，45是奇数，不符合要求，42和48都是偶数，同时满足所有限定条件。
因此这个班的人数可能是42或者48。
【答案】
42或48
【知识点】
3的倍数特征，偶数的定义
【点评】
本题属于因数倍数板块的基础应用题，需要同时匹配多个限定条件，解题时注意不要遗漏“人数为偶数”的要求，避免误将奇数45纳入结果，整体考察对基础概念的掌握程度。
【难度系数】
0.8
【分析】
首先读题明确核心要求：要将班级平均分成每组3人且没有剩余，本质就是要求班级总人数是3的倍数，能够被3整除。接下来我们只需要回忆3的倍数的判断规则，逐个对表格里5个班的人数进行验证，统计符合条件的班级总数，就能得到最终答案。
【解析】
要满足每组3人且无剩余，班级总人数必须是3的倍数，根据3的倍数的特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，逐个验证各班人数：
1. 一班人数39：各位数字和为$＜[PLHD93_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD60_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD73_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜/function_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934＞＜[PLHD98_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[eou_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜function_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934=＜[PLHD69_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[bou_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞$$＜[/audio_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD61_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜RichMediaReference＞＜$|superscript|$＞:＜/function_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934＞＜$|card|$＞:＜[PLHD87_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜$|video|＞:＜|FCResponseBegin|$＞＜/escapeShell＞＜[PLHD82_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD87_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD74_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[eotu_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD83_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜$|paragraph|$＞:＜[PAD_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD66_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD71_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜/doubaothinking_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934＞＜[PLHD86_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD83_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜$|video|$＞:＜RichMediaReference＞＜/seed:tool_call_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934＞$
【分析】
解题时我们可以先回忆2、3、5、6的倍数的判定规则，结合题目要求“这个数一定是某个数的倍数”，也就是无论x取哪个符合数位要求的自然数，该数都满足倍数条件。首先先观察这个六位数的个位是3，先快速排除明显不符合2、5倍数特征的选项，再对剩余选项通过计算所有数位数字之和，验证是否恒满足对应倍数的要求，就能得到正确答案。
【解析】
1. 先明确该六位数各数位的数字：十万位为1，万位为x，千位为x，百位为2，十位为x，个位为3。
2. 逐个验证选项：
选项A：2的倍数要求个位数字为偶数，该数个位是3，属于奇数，不可能是2的倍数，排除A；
选项C：5的倍数要求个位数字为0或5，该数个位是3，不符合要求，排除C；
选项D：6的倍数需要同时满足是2的倍数和3的倍数，该数已经不可能是2的倍数，因此不可能是6的倍数，排除D；
选项B：计算该数所有数位的数字之和：$1+x+x+2+x+3 = 6+3x = 3×(2+x)$，因为x是自然数，所以$2+x$是整数，说明数位和一定是3的倍数，根据3的倍数的判定规则，无论x取何值，这个六位数都一定是3的倍数。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
3的倍数判定，2的倍数判定，5的倍数判定
【点评】
本题属于数论基础的倍数特征应用题，核心考察对常见整数倍数判定规则的掌握，通过排除法可以快速排除个位不符合2、5倍数要求的选项，不需要求解x的具体取值，仅通过合并数位和的代数式就能验证恒成立的条件，解题效率很高。
【难度系数】
0.7
【分析】
题目要求不计算判断哪个算式的结果有余数，我们不需要实际做除法运算，直接利用3的倍数的特征来判断即可：如果一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，那么这个数就能被3整除，除以3就没有余数；如果数字之和不是3的倍数，那么这个数除以3就会有余数。接下来我们只需要逐个计算四个选项中被除数的数位数字之和，判断是否为3的倍数，就能快速选出符合要求的选项。
【解析】
我们利用能被3整除的数的特征逐一判断：
1. 选项A：被除数150的数位和为1+5+0=6，6是3的倍数，因此150能被3整除，150÷3没有余数；
2. 选项B：被除数927的数位和为9+2+7=18，18是3的倍数，因此927能被3整除，927÷3没有余数；
3. 选项C：被除数4044的数位和为4+0+4+4=12，12是3的倍数，因此4044能被3整除，4044÷3没有余数；
4. 选项D：被除数113的数位和为1+1+3=5，5不是3的倍数，因此113不能被3整除，113÷3的结果有余数。
因此符合要求的是选项D。
【答案】D
【知识点】3的倍数特征；除法余数判断
【点评】本题是对3的倍数特征的基础应用考察，规避了常规硬算除法的思路，引导学生利用数的整除规律快速解题，既可以提升运算效率，也能加深学生对整除特性的理解，属于数论部分的基础题型。
【难度系数】0.9
【分析】
我们的解题核心是抓住题目要求的“一定是2和3的倍数”这个条件，也就是无论T取1~9中任意自然数，该数都要同时满足2、3的倍数要求。解题思路分两步走：第一步先根据2的倍数的特征，筛选出个位固定为偶数的数，排除个位是T的选项——因为T可能是1、3这类奇数，无法保证一定是2的倍数；第二步对筛选出的数，计算所有数位的数字之和，验证该和是否无论T取1~9中任意值，都能被3整除，最后统计符合条件的数的总个数即可得到答案。
【解析】
1. 先根据2的倍数特征筛选：2的倍数要求个位是0、2、4、6、8，已知T是1~9的自然数，可能为奇数也可能为偶数：
$\overline{T0TTT}$个位是T，T可能是奇数，无法保证一定是2的倍数，排除；
$\overline{TTT00}$个位是0，一定是2的倍数；
$\overline{TT0T0}$个位是0，一定是2的倍数；
$\overline{T0T0T}$个位是T，T可能是奇数，无法保证一定是2的倍数，排除。
2. 再验证剩余两个数是否一定是3的倍数：3的倍数要求所有数位数字之和能被3整除：
$\overline{TTT00}$的数位和为$T+T+T+0+0=3T$，3T必然能被3整除，无论T取1~9中任意值，它都是3的倍数；
$\overline{TT0T0}$的数位和为$T+T+0+T+0=3T$，同样3T必然能被3整除，无论T取1~9中任意值，它都是3的倍数。
综上，一定同时是2和3的倍数的数共有2个。
【答案】
B
【知识点】
2的倍数特征，3的倍数特征
【点评】
本题重点考察2和3的倍数的判定规则，解题时要紧扣“一定”这个关键词，即对任意1~9的T都成立，不能仅用特殊值代入部分验证，通过数位和的代数形式判断是否恒满足3的倍数要求，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.7
【分析】
首先我们梳理题意：已知日记本单价是整元，莉莉买了3本完全相同的日记本，总应付金额等于单价乘3，说明总金额一定是3的整数倍，也就是总金额必须能被3整除。接下来我们就可以用本单元学习的3的倍数的特征，验证售货员说的35元是否符合要求：把35各个数位上的数字相加，看得到的和是不是3的倍数，就能直接判断35是不是3的倍数，进而说明莉莉的判断是正确的。
【解析】
1. 推导总价性质：因为日记本单价是整元数，买3本同样的日记本，总金额=日记本单价×3，因此总金额必然是3的倍数。
2. 依据3的倍数的判定规则：一个数所有数位上的数字之和是3的倍数，这个数本身就是3的倍数。
3. 计算验证：35的数位数字之和为3+5=8，计算8÷3=2……2，可知8不是3的倍数，因此35也不是3的倍数，不可能是3本整元日记本的总价，所以莉莉认为不对。
【答案】
3+5=8，8÷3=2……2，35不是3的倍数，因此莉莉认为不对。
【知识点】
3的倍数特征；倍数实际应用
【点评】
本题结合文具购买的生活场景出题，重点考察学生对3的倍数特征知识点的实际运用能力，引导学生把课堂所学的数学知识和生活场景结合起来，锻炼数学应用意识，解题思路清晰门槛低，是非常典型的基础应用型习题。
【难度系数】
0.8
【分析】
我们要解决这道题，首先明确9的倍数的核心判定规则：一个数所有数位上的数字之和是9的倍数，这个数本身就是9的倍数。解题思路非常清晰：第一步先把每个数已知数位上的数字相加，算出当前的总和；第二步由于方框里只能填0-9的一位数，我们从0-9中找出所有能和前面算出的数位总和相加后，结果为9的倍数的数字，就是对应的全部符合条件的答案。
【解析】
我们逐个计算每个数符合条件的数字：
1. 对于$5□67$：
先计算已知数位的和：$5+6+7=18$，18本身是9的倍数，要让$18+□$是9的倍数，且□是0~9的一位数：
当$□=0$时，总和为$18+0=18$，是9的倍数；
当$□=9$时，总和为$18+9=27$，是9的倍数；
若取更大的9的倍数36，需要$□=36-18=18$，不是一位数，不符合要求，所以符合的数字是0、9。
2. 对于$41□8$：
已知数位的和：$4+1+8=13$，要让$13+□$是9的倍数，□是0~9的一位数：
当$□=5$时，总和为$13+5=18$，是9的倍数；
下一个9的倍数是27，需要$□=27-13=14$，不是一位数，不符合要求，所以符合的数字是5。
3. 对于$32□4$：
已知数位的和：$3+2+4=9$，9本身是9的倍数，要让$9+□$是9的倍数，□是0~9的一位数：
当$□=0$时，总和为$9+0=9$，是9的倍数；
当$□=9$时，总和为$9+9=18$，是9的倍数；
下一个9的倍数是27，需要$□=27-9=18$，不是一位数，不符合要求，所以符合的数字是0、9。
4. 对于$6□35$：
已知数位的和：$6+3+5=14$，要让$14+□$是9的倍数，□是0~9的一位数：
当$□=4$时，总和为$14+4=18$，是9的倍数；
下一个9的倍数是27，需要$□=27-14=13$，不是一位数，不符合要求，所以符合的数字是4。
【答案】
0,9；5；0,9；4
【知识点】
9的倍数特征
【点评】
本题是9的倍数特征的基础应用题，解题时要注意方框内只能填写0-9的单个一位数，避免出现超出一位数的错误解，同时不要漏算符合条件的多个数字，部分同学容易混淆3和9的倍数特征，要注意9的倍数要求数位和是9的倍数，而非仅仅是3的倍数。
【难度系数】
0.7
【分析】
这道题的核心解题依据是3的倍数的判定规则，我们不需要计算出这个由2026个4组成的完整大数，只需要按照以下步骤思考：第一步先回忆3的倍数特征，明确只要所有数位的数字之和是3的倍数，这个数就满足要求；第二步先算出前2026个4的数位总和，再求出这个总和除以3的余数；第三步在0到9的整数范围内，找到所有能让“总和+方框内数字”是3的倍数的数，从中筛选出最大值和最小值即可。
【解析】
根据3的倍数的特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，解题过程如下：
1. 计算2026个4的数位总和：$4×2026=8104$
2. 简化计算该总和除以3的余数：对8104求数位和得$8+1+0+4=13$，$13÷3=4······1$，说明13除以3余1，要让$13+□$的结果是3的倍数，□的数值除以3需要余2。
3. 在0~9的整数范围内，满足除以3余2的数有2、5、8，其中最小的是2，最大的是8。
因此方框里最大填8，最小填2。
【答案】8 2
【知识点】3的倍数特征
【点评】本题用大数量级的数设置小陷阱，不需要硬算完整大数，利用3的倍数仅和数位数字和相关的性质就能大幅简化计算，易错点是容易直接默认最小填0，忽略验证数字和是否真的能被3整除，做完后可以反向验证13+2=15、13+8=21都是3的倍数，确认结果正确。
【难度系数】0.7
【分析】
我们可以按照条件逐步缩小候选数的范围来解题：首先整合题目给出的4个条件，先筛选出同时满足“是两位数、是奇数、是3的倍数”的数，再结合“所有因数和为48”的条件进一步缩小范围：因为这个数至少有因数1、3和它本身，三者相加的和已经超过数本身，因此这个数一定小于48-1-3=44，得到所有候选数后，逐个计算它们的全部因数之和，找到符合和为48的数即可。
【解析】
步骤1：缩小候选数范围
根据条件，目标数是两位数、奇数、3的倍数，且所有因数和为48，它必然包含因数1、3和自身，因此该数一定小于48-1-3=44。
列出所有小于44的、满足是奇数、3的倍数的两位数：
3×5=15，3×7=21，3×9=27，3×11=33，3×13=39。
步骤2：逐个验证因数和条件
15的因数为1、3、5、15，因数和为1+3+5+15=24，不符合要求；
21的因数为1、3、7、21，因数和为1+3+7+21=32，不符合要求；
27的因数为1、3、9、27，因数和为1+3+9+27=40，不符合要求；
33的因数为1、3、11、33，因数和为1+3+11+33=48，完全满足所有条件；
39的因数为1、3、13、39，因数和为1+3+13+39=56，不符合要求。
因此符合所有条件的数是33。
【答案】
33
【知识点】
因数的概念，3的倍数特征，奇数定义
【点评】
本题属于基础数论推理题，核心解题思路是通过多个限定条件逐步缩小枚举范围，避免无意义的大范围排查，通过有序验证得到结果，能够锻炼学生的逻辑推理能力和有序枚举的数学习惯，难度适中。
【难度系数】
0.6
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