第53页 - 江苏版实验班提优训练数学五年级上下册答案

4

5

480

72或78

4

9

0

450,540,504,570,750

405,450,540,570,705,750

450,540,570,750

C

D

答：他最多需要尝试3次。因为

密码可能是6810、6840、6870。

因为同时是2和5的倍数的数个位只能是0，所以C=0。

这个数是3的倍数，所以各位数字之和A+B+2+6+0 = A+B+8必须是3的倍数，也就是A+B的和除以3余1。

A是五位数的首位，A≥1，且A、B、C代表不同的数，C=0，所以A和B都不能等于0。

符合条件的A+B的最小和是4，因此A+B+C的和最小是4。

符合条件的A+B的最大和是16，因此A+B+C的和最大是16。

答：A+B+C的和最小是4，最大是16。

【分析】
我们可以逐个空结合2、3、5的倍数特征逐步推导：
1. 第一个空：先明确2的倍数要求个位是偶数，3的倍数要求所有数位数字之和是3的倍数。先计算已知数位的和8+3=11，找出11加上一位数后和为3的倍数的可选值：1、4、7，再从这三个数里挑出符合2的倍数的偶数，就能得到结果。
2. 第二个空：先从限制条件更明确的5的倍数入手，5的倍数个位只能是0或5，分别代入验证两个数是否满足3的倍数的要求，就能得到正确值。
3. 第三个空：同时是2、3、5的倍数，首先同时满足2和5的倍数的数个位必须是0，确定个位是0之后，要让百位为4的三位数尽可能大，就需要让十位数字尽可能大，同时满足三个数位的数字和是3的倍数，从9往下试十位的数字，找到符合要求的最大值，就能得到这个三位数。
【解析】
① 求解83□：
2的倍数的个位只能是0、2、4、6、8；3的倍数要求各位数字和是3的倍数，8+3=11，11+□的和需要是3的倍数，符合要求的一位数有1、4、7，其中只有4是偶数，因此□填4。
② 求解25□：
5的倍数的个位只能是0或5：
若个位是0，各位和为2+5+0=7，7不是3的倍数，不符合要求；
若个位是5，各位和为2+5+5=12，12是3的倍数，符合要求，因此□填5。
③ 求解百位为4、同时是2、3、5倍数的最大三位数：
同时是2和5的倍数，个位必须为0，此时数为4□0，要让数最大，十位数字要尽可能大，同时4+□+0的和是3的倍数：
十位取9时，4+9=13，13不是3的倍数，不符合；
十位取8时，4+8=12，12是3的倍数，符合要求，因此这个数是480。
【答案】
4；5；480
【知识点】
2的倍数特征
3的倍数特征
5的倍数特征
【点评】
本题是2、3、5倍数特征的基础综合应用题，解题时优先从限制条件最多的倍数特征入手缩小可选范围，再验证剩余条件即可快速得到结果，要注意避免把3的倍数特征错误记为看个位的常见误区。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先我们先从题目给出的传统文化常识里锁定奶奶年龄的范围：古稀指代70岁，已过古稀说明年龄大于70岁；耄耋指代80至90岁，未及耄耋说明年龄小于80岁，因此奶奶的年龄处于70到80的区间内。接下来结合数学条件，年龄既是2的倍数又有因数3，说明这个数是2和3的公倍数，我们只需要在70~80的区间里找出所有同时满足条件的数，就能得到最终结果。
【解析】
第一步：确定年龄取值范围
由题中年龄别称的定义可知，古稀是70岁，耄耋从80岁开始，奶奶已过古稀、未及耄耋，因此奶奶的年龄是70到80之间的整数，即满足70＜年龄＜80。
第二步：明确数字特征
年龄既是2的倍数，又含有因数3，说明该数同时是2和3的公倍数，也就是可以被2×3=6整除。
第三步：筛选符合条件的数
计算6的倍数可得：6×12=72，6×13=78，6×14=84，其中84超出了80的上限，不符合年龄范围，因此70到80之间符合要求的数只有72和78。
【答案】72或78
【知识点】古代年龄称谓，2和3的倍数特征
【点评】本题是结合传统文化的跨学科趣味习题，解题核心是先从年龄别称的描述中提取出隐含的年龄区间，再结合2、3的倍数特征筛选符合条件的数值，既考察了基础数论知识，也普及了传统年龄文化常识。
【难度系数】
0.8

【分析】
我们首先回忆3的倍数的判定规则：一个数是3的倍数的核心要求是所有数位上的数字之和为3的倍数。这道题里的三位数是a□b，三个数位的数字总和为a+□+b，已知a+b=15，先判断15本身是3的倍数，因此只需要让□里的数字是3的倍数，就能满足三个数位总和是3的倍数的要求，接下来枚举0~9的个位数中符合要求的数，统计个数即可得到答案。
【解析】
1. 明确判定规则：若一个数是3的倍数，则它各个数位的数字之和必须是3的倍数。
2. 改写数位总和：该三位数的数位总和为$a + □ + b$，已知$a+b=15$，因此总和可表示为$15+□$。
3. 推导□的取值条件：因为15是3的倍数，要让$15+□$是3的倍数，那么□本身必须是3的倍数。
4. 枚举符合条件的数字：□是0~9范围内的个位数，其中属于3的倍数的数字有0、3、6、9，总计4个。
【答案】
4
【知识点】
3的倍数特征，数位求和
【点评】
本题是3的倍数特征的基础变式题，利用“两个3的倍数相加仍为3的倍数”的性质简化推导，易错点是容易遗漏数字0，不少同学会误将符合条件的数统计为3、6、9共3个，解题时要注意0也满足3的倍数的要求。
【难度系数】
0.7

【分析】
这道题围绕3的倍数的判定规则展开，我们首先要明确核心逻辑：如果一个数是3的倍数，它所有数位上的数字之和一定是3的倍数。首先先把四位数里已知的三个数位的数字相加，算出已有数字的总和，再结合A是0~9之间的一位数的要求，筛选出所有符合条件的A，就能直接找出A的最大和最小取值。计算可得已知数位5、3、1的和是9，9本身已经是3的倍数，因此A只要是3的倍数就满足总和是3的倍数的要求，接下来在0到9的一位数里选出符合要求的最大、最小值即可。
【解析】
1. 先明确3的倍数的判定规则：一个正整数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数本身就是3的倍数。
2. 计算已知数位的数字和：$5 + 3 + 1 = 9$，9本身是3的倍数，因此要让$9+A$是3的倍数，只需要A本身是3的倍数即可。
3. A是四位数的百位数字，属于0~9范围内的一位数，满足是3的倍数的可选A值为：0、3、6、9。
4. 对比可选值可得，A的最大值是9，最小值是0。
【答案】
9，0
【知识点】
3的倍数特征，数位数字性质
【点评】
本题是因数倍数板块的基础题型，核心考察3的倍数的判定规则，常见易错点是部分同学误以为百位数字不能取0，忽略了该四位数的最高位千位已经是5，A取0时得到的5031仍然是合法的四位数，要注意多位数只有最高位不能取0，其余数位都可以取0。
【难度系数】
0.8

【分析】
这道题的核心是利用2、3、5的倍数特征组数，解题时可以先缩小筛选范围：首先回忆3的倍数要求三个数位上的数字之和能被3整除，先从4个数字里把所有满足和是3的倍数的三数组合先找出来，排除不符合3的倍数的组合，之后再结合2、5的倍数的个位特征，在剩下的有效组合里按要求枚举，既不会漏数也不会重复。首先计算所有三数组合的和，筛选出仅有的两组有效组合{0,4,5}和{0,5,7}，再分别对应三个小问的要求筛选符合条件的数即可。
【解析】
步骤1：先筛选所有满足3的倍数要求的三数组合，3的倍数要求三个数字之和能被3整除：
组合1：选0、4、5，和为0+4+5=9，9能被3整除，有效；
组合2：选0、4、7，和为0+4+7=11，11不能被3整除，直接排除；
组合3：选0、5、7，和为0+5+7=12，12能被3整除，有效；
组合4：选4、5、7，和为4+5+7=16，16不能被3整除，直接排除。
最终仅剩下两组有效数字组合：{0,4,5}、{0,5,7}，接下来结合2、5的倍数特征分别组数：
(1) 同时是2和3的倍数：已经满足3的倍数，2的倍数要求个位是偶数（0或4）：
从{0,4,5}中得到：450、540、504；从{0,5,7}中得到：570、750，全部符合要求。
(2) 同时是3和5的倍数：已经满足3的倍数，5的倍数要求个位是0或5：
从{0,4,5}中得到：450、540、405；从{0,5,7}中得到：570、750、705，全部符合要求。
(3) 同时是2、3和5的倍数：同时满足2和5的倍数特征，个位必须是0，从上述结果中筛选个位为0的数即可。
【答案】
(1)450,540,504,570,750；(2)405,450,540,570,705,750；(3)450,540,570,750
【知识点】
2的倍数特征，3的倍数特征，5的倍数特征
【点评】
本题是因数倍数单元的基础组数题型，先通过3的倍数特征缩小可选数字范围，能大幅降低枚举的复杂度，解题时注意三位数的百位不能为0，按个位特征分类枚举就能完整得到所有符合要求的数，避免漏数、重复计数的问题。
【难度系数】
0.7

【分析】
这道题要求选出有余数的除法算式，我们不需要逐个完整计算出结果，完全可以借助2、3、5的倍数特征快速判断：如果被除数是除数的倍数，那么除法运算就没有余数，反之就会有余数。我们逐个对照选项的除数，用对应的倍数特征验证被除数是否为除数的倍数，就能快速得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：除数是3，根据3的倍数特征，被除数各位数字之和3+9+6=18，18是3的倍数，说明396能被3整除，396÷3=132，没有余数。
B选项：除数是5，根据5的倍数特征，被除数205的末尾是5，说明205能被5整除，205÷5=41，没有余数。
C选项：除数是2，根据2的倍数特征，被除数745的末尾是5，属于奇数，不能被2整除，计算得745÷2=372……1，算式有余数。
D选项：除数是3，根据3的倍数特征，被除数各位数字之和3+4+2=9，9是3的倍数，说明342能被3整除，342÷3=114，没有余数。
综上，有余数的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
2的倍数特征，3的倍数特征，5的倍数特征
【点评】
本题考查对2、3、5倍数特征的实际运用，无需复杂计算就可以快速判断除法是否存在余数，既巩固了数的整除相关基础概念，也能帮助学生养成巧算速算的解题习惯，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.9

【分析】
我们可以按清晰的逻辑逐步推导：第一步先回忆2、3、5的倍数的判定规则，第二步根据排列规律确定这个二十位数的个位数字，先判断它是否为2、5的倍数，第三步计算所有数位的数字总和，判断是否为3的倍数，最后结合选项筛选正确答案。首先1~5共5个数字，排成二十位数刚好完整循环20÷5=4次，因此个位是周期的最后一个数字5，2的倍数要求个位是偶数，直接就能排除所有包含“是2的倍数”的选项，再验证数字和是否符合3的倍数要求，就能得到结果。
【解析】
1. 计算循环周期数：1~5为一个排列周期，每个周期包含5个数字，二十位数的完整周期数为20÷5=4，刚好完成4次循环。
2. 验证2的倍数特征：2的倍数要求个位数字是0、2、4、6、8，该数个位是周期末尾的数字5，不是偶数，因此这个数不是2的倍数，直接排除包含2的倍数的选项A、B、D。
3. 验证5的倍数特征：5的倍数要求个位数字是0或5，该数个位为5，因此这个数是5的倍数。
4. 验证3的倍数特征：3的倍数要求所有数位的数字之和是3的倍数，该数各位数字总和为(1+2+3+4+5)×4=15×4=60，60能被3整除，因此这个数是3的倍数。
综上，这个二十位数是3和5的倍数。
【答案】
C
【知识点】
2的倍数判定，3的倍数判定，5的倍数判定
【点评】
本题结合数字循环规律和数的整除特征考查，解题时可以先通过个位的奇偶性快速排除错误选项，再验证3的倍数特征即可得到结论，注意不要搞错循环次数，避免算错数位总和。
【难度系数】
0.7

【分析】
这是一道数论基础概念辨析题，解题思路是逐个验证4个说法的正误：首先回忆因数、倍数的核心性质，明确它是相互依存的关系，且仅在非0整数范围内讨论，先判断①②的对错；再结合奇数的定义判断③的正误；最后根据自然数除以3的余数特征判断④是否成立，统计正确说法后匹配对应选项即可。
【解析】
我们逐一辨析每个说法：
1. 针对①：因数和倍数是相互依存的，不能脱离另一方单独描述某数是因数、某数是倍数，正确表述应为“4和5是20的因数，20是4和5的倍数”，因此①说法错误。
2. 针对②：因数和倍数的研究范围限定为非0自然数，4.8是小数，不在该研究范围内，不能判定4.8是4的倍数，因此②说法错误。
3. 针对③：不能被2整除的自然数是奇数，个位为1、3、5、7、9的自然数都无法被2整除，完全符合奇数的定义，因此③说法正确。
4. 针对④：任意非0自然数除以3的余数只能是0、1、2三种情况，相邻的三个非0自然数的余数必然恰好覆盖0、1、2，一定存在一个余数为0的数，也就是能被3整除的3的倍数，因此④说法正确。
综上，正确的说法是③④，对应选项D。
【答案】D
【知识点】
因数与倍数；奇数定义；3的倍数性质
【点评】
本题是小学数论部分的典型易错题，重点考察对基础概念细节的掌握，很多同学容易忽略“因数倍数相互依存、仅适用于整数范围”这两个细节，误判①②为正确，只要紧扣概念逐一辨析就能避开陷阱选出正确答案。
【难度系数】
0.6

【分析】
我们可以分步缩小密码的范围来解题：第一步，先根据“四位数前两位是68”，确定密码形式为68XY，X是十位数字，Y是个位数字；第二步，利用同时是2和5的倍数的数的特征，直接确定个位Y的取值，排除所有不符合的个位数字；第三步，再结合3的倍数的特征，找出所有符合要求的十位数字，统计符合条件的密码总个数，就是最多需要尝试的次数。
【解析】
1. 确定个位数字：同时是2和5的倍数的数，个位数字只能是0，因此这个四位数的个位是0，密码形式简化为68□0，□代表十位上的数字。
2. 结合3的倍数特征筛选十位数字：3的倍数要求所有数位上的数字之和是3的倍数，已知数位的数字和为6+8+0=14，因此14加上十位数字的和需要是3的倍数。
3. 枚举符合条件的十位数字：十位是0~9的一位数，满足条件的数字有：
14+1=15，15是3的倍数，对应密码6810
14+4=18，18是3的倍数，对应密码6840
14+7=21，21是3的倍数，对应密码6870
没有其他符合条件的一位数，总共有3个可能的密码。
【答案】
他最多需要尝试3次。因为密码可能是6810,6840或6870。
【知识点】
2、5倍数特征，3的倍数特征，枚举法
【点评】
本题结合生活开锁的实际场景，综合考察2、3、5的倍数特征的应用，引导学生逐步通过限定条件缩小取值范围，排除不可能的选项，最终枚举所有合法结果，既巩固了因数倍数的基础知识点，也锻炼了逻辑推理的严谨性。
【难度系数】
0.7

【分析】
我们可以分步骤推导：第一步，先根据2和5的倍数的共同特征，直接确定个位C的取值，因为同时是2和5的倍数的数个位只能是0，快速锁定C=0；第二步，结合3的倍数的特征，也就是所有数位数字之和是3的倍数，代入已知的数位数字和C的值，得到A+B需要满足的条件；第三步，结合题目给出的“A、B、C分别代表不同的数”的约束，同时注意A是五位数的万位不能为0，筛选出A+B的最小和最大合法取值，最终算出A+B+C的最值。
【解析】
1. 确定C的取值：
若一个数同时是2和5的倍数，其个位数字必然为0，因此五位数的个位C=0。
2. 结合3的倍数特征推导A+B的要求：
这个数是3的倍数，因此所有数位的数字之和是3的倍数，即：
A + B + 2 + 6 + C = A+B+8 是3的倍数，也就是A+B的和除以3的余数为1。
3. 计算A+B+C的最小值：
已知C=0，且A、B、C互不相同，A是万位不能为0，因此A≠0、B≠0。
若A+B=1，仅能取A=1、B=0，此时B=C=0，不符合数字互不相同的要求，排除；
下一个满足“A+B除以3余1”的最小取值是4，此时A+B=4，例如取A=1、B=3，1、3、0互不相同，完全符合条件，因此A+B+C的最小值为4+0=4。
4. 计算A+B+C的最大值：
A和B都是一位数，最大取值为9，且互不相同、不等于0，满足“A+B除以3余1”的最大A+B取值为16，例如取A=9、B=7，9、7、0互不相同，完全符合条件，因此A+B+C的最大值为16+0=16。
【答案】
最小是4，最大是16
【知识点】
2、3、5的倍数特征，数位数字性质
【点评】
本题的易错点是容易忽略“A、B、C三个数字互不相同”的约束，误将A+B的最小取值算为1得到错误的最小和，解题时先通过2和5的倍数特征锁定C的值，大幅简化问题后再结合3的倍数特征筛选，同时额外校验数字互不重复的条件，就能得到正确结果。
【难度系数】
0.6