第55页 - 江苏版实验班提优训练数学五年级上下册答案

1,2,4,7,14,28

2,7

质因数

2

4

57=3×19

42

42=2×3×7

30

48=2×2×2×2×3

72=2×2×2×3×3

84=2×2×3×7

C

B

答：农场里栽了77棵苹果树苗。因为77可以分解为两个质数相乘，即77=7×11，而其他三个数都不能分解为两个质数相乘，不符合每行棵数和行数都是质数的条件。

504=2×2×2×3×3×7=7×8×9

答：这三个人的年龄分别是7岁、8岁、9岁。

2910=2×3×5×97=3×10×97

答：夏亮的名次是第三名，年龄是10岁，这

次考试的分数是97分。

【分析】
我们可以分三步梳理解题思路：第一步，回忆找一个数因数的方法，从1开始依次枚举所有能整除28的正整数，就能得到28的全部因数；第二步，根据质数的定义，从已经找出的因数里筛选出符合质数要求的数，要注意1既不是质数也不是合数，避免误选；第三步，结合概念定义，一个数的因数中本身是质数的数，就叫做这个数的质因数，对应填写最后一空即可。
【解析】
1. 枚举28的全部因数：
从1开始成对找出能整除28的数：
28÷1=28，得到因数1、28；
28÷2=14，得到因数2、14；
28÷4=7，得到因数4、7；
汇总后28的所有因数为1,2,4,7,14,28。
2. 从因数中筛选质数：
逐个判断属性：1既不是质数也不是合数；2的因数只有1和它本身，属于质数；4除了1和自身外还有因数2，是合数；7的因数只有1和它本身，属于质数；14、28除了1和自身外都有其他因数，属于合数，因此筛选出的质数为2,7。
3. 匹配对应概念：
既是28的因数，自身又是质数的数，就是28的质因数。
【答案】
1,2,4,7,14,28；2,7；质因数
【知识点】
找因数方法，质数定义，质因数概念
【点评】
本题是数论板块的基础概念题，核心是理清因数、质数、质因数三个概念的关联和区别，易错点是容易误将1归入质数范畴，做完后可以对照1的特殊性质校验答案，能有效巩固相关基础定义。
【难度系数】
0.8

【分析】
我们可以分三步逐步推导：第一步先结合偶数和质数的定义，在给出的数里筛选同时满足两个条件的数，先找出所有偶数，再从这些偶数里判断谁只有1和自身两个因数，就能得到既是偶数又是质数的数；第二步回忆合数的定义，找出所有合数后比较大小得到最小的合数；第三步先比较所有数的大小找到最大的合数，再将它拆写成若干个质数相乘的形式，完成分解质因数即可。
【解析】
1. 确定既是偶数又是质数的数：
给出的数中偶数有2、4、12、36，其中4、12、36除了1和自身外都有其他因数，属于合数，只有2的因数只有1和2，同时满足偶数和质数的要求。
2. 确定最小的合数：
给出的数里合数有4、12、36、57，对比大小可知其中最小的是4。
3. 对最大的合数分解质因数：
上述合数中数值最大的是57，将其拆为质数相乘的形式，可得57=3×19。
【答案】
2；4；57=3×19
【知识点】
质数与合数；偶数概念；分解质因数
【点评】
本题属于数论板块的基础概念题，核心考察对偶数、质数、合数定义的辨析，易错点是容易忽略57的数值大于36，误将36当成最大的合数，解题时要注意先对比所有合数的大小再进行分解质因数操作。
【难度系数】
0.6

【分析】
我们可以分两步来思考解题：第一步先确定这个两位数，首先回忆质数、合数的定义，找出最小的合数和最小的质数，按照“十位是最小合数、个位是最小质数”的要求组合出两位数；第二步对得到的两位数做分解质因数，从最小的质数开始逐步试除，最终将数拆成若干个质数相乘的形式即可得到结果。
【解析】
1. 确定两位数：
质数是指大于1的自然数中，除了1和它自身外没有其他因数的数，因此最小的质数是2；
合数是指大于1的自然数中，除了1和它自身外还有其他因数的数，因此最小的合数是4；
这个两位数的十位是4，个位是2，因此这个数是42。
2. 分解质因数：
从最小的质数2开始试除42，可得42÷2=21；
再对21试除质数3，可得21÷3=7，7是质数无法继续拆分；
因此分解质因数的结果为42=2×3×7。
【答案】
42；42=2×3×7
【知识点】
质数的认识，合数的认识，分解质因数
【点评】
本题属于数论部分的基础题型，核心考察对质数、合数基础概念的识记，以及分解质因数的基本操作方法，常见易错点是混淆最小的质数、最小的合数的数值，误将1认作最小的质数，需要牢记1既不是质数也不是合数的特殊性质。
【难度系数】
0.9

【分析】
我们的核心目标是得到满足条件的最小的数，因为这个数是三个质因数a、b、c的乘积，要让乘积最小，就需要三个质因数本身尽可能小。首先结合质数的特性分析：除了2之外所有质数都是奇数，两个奇数相加的和是大于2的偶数，必然是合数，不可能是质数，因此要满足质数a = b + c，b和c中一定包含唯一的偶质数2，接下来只需要从小到大枚举剩余的小质数，找到符合“两个质数相加的和仍是质数”的最小组合，最后将三个质因数相乘就能得到最小的数。
【解析】
步骤1：明确最小数的构造逻辑：三个质因数的乘积要最小，所选的三个质因数必须是符合条件的尽可能小的质数。
步骤2：利用质数奇偶性推导特殊质因数：所有质数中只有2是偶数，其余均为奇数。若b、c均为奇质数，则b+c是偶数且大于2，必然是合数，不符合a是质数的要求，因此b、c中必有一个是2。
步骤3：枚举找最小组合：从小到大尝试剩余小质数，2+3=5，5是质数，此时三个质因数分别为2、3、5，完全满足条件。
步骤4：计算这个数的最小值：2×3×5=30。
【答案】
30
【知识点】
质数性质，质因数概念
【点评】
本题的突破口是利用质数中唯一的偶质数2的特殊性质，快速排除不符合条件的组合，避免无意义的大质数枚举，重点考察对质数奇偶特性的灵活运用，容易因忽略2是唯一偶质数而走弯路。
【难度系数】
0.6

【分析】
首先要明确分解质因数的核心要求：把合数写成若干个质数相乘的形式。最常用的方法是短除法，解题时从最小的质数2开始尝试整除目标数，如果不能被2整除就试下一个质数3，以此类推，一直除到最终得到的商也是质数为止，最后把所有的除数和最终的商连乘，就能得到该数的质因数分解结果，我们分别对48、72、84三个数依次用该方法计算即可。
【解析】
我们使用短除法分别对三个数分解质因数：
1. 分解48：
从最小质数2开始除：48÷2=24，24÷2=12，12÷2=6，6÷2=3，此时最终的商3是质数，停止运算，将所有除数和商连乘，得到48的质因数分解结果。
2. 分解72：
从最小质数2开始除：72÷2=36，36÷2=18，18÷2=9，9不能被2整除，换质数3除：9÷3=3，此时最终的商3是质数，停止运算，将所有除数和商连乘，得到72的质因数分解结果。
3. 分解84：
从最小质数2开始除：84÷2=42，42÷2=21，21不能被2整除，换质数3除：21÷3=7，此时最终的商7是质数，停止运算，将所有除数和商连乘，得到84的质因数分解结果。
【答案】
48=2×2×2×2×3 72=2×2×2×3×3 84=2×2×3×7
【知识点】
分解质因数，短除法
【点评】
本题属于分解质因数的基础练习题，熟练掌握短除法的操作流程是解题关键，分解完成后可以将所有质因数反向相乘验证结果是否等于原数，避免出现因数写错、漏写的问题，注意最终的所有乘数都必须是质数，不能出现合数。
【难度系数】
0.9

【分析】
这道题要求我们求已知分解质因数的自然数的因数总个数，我们有两种常用的思考路径：第一种是枚举法，先算出a的具体数值，再从小到大把它的所有因数列举出来，最后数出总个数；第二种是利用因数个数的计算公式，直接通过质因数的指数运算得到结果，不需要逐个枚举，效率更高。我们可以先尝试枚举所有因数，避免漏数或者重复计数，验证后就能得到正确结果。
【解析】
方法1：枚举法
首先计算a的数值：$a=2×5×13=130$
按照因数的构成逐个列举：
1. 最小的因数1；
2. 单个质因数构成的因数：2、5、13；
3. 两个不同质因数乘积构成的因数：$2×5=10$，$2×13=26$，$5×13=65$；
4. 三个质因数乘积构成的因数，也就是a本身：$2×5×13=130$
把所有因数汇总：1、2、5、13、10、26、65、130，总共有8个。
方法2：因数个数公式法
若一个自然数分解质因数为$a=p_1^{m_1}×p_2^{m_2}×…×p_n^{m_n}$，其中$p_1,p_2…p_n$是不同的质数，$m_1,m_2…m_n$是对应质数的指数，那么a的总因数个数为$(m_1+1)×(m_2+1)×…×(m_n+1)$。
本题中a的分解质因数形式里，2、5、13的指数都是1，代入公式得总因数个数：$(1+1)×(1+1)×(1+1)=2×2×2=8$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
因数的概念，因数个数定理
【点评】
本题是因数相关的基础题型，既可以用最直观的枚举法逐个列举验证，适合刚接触因数知识点的同学使用，也可以用因数个数公式快速计算，提升解题效率，解题时要注意枚举因数时不要出现漏数、重复计数的问题。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先先明确题目给出的“史密斯数”的定义：一个正整数分解质因数后，所有质因数的各位数字之和，与该数本身的各位数字之和相等，这个数就是史密斯数。解题思路非常清晰，我们只需要对题干给出的5个数逐个验证即可：对每个数，第一步先计算它自身所有数位的数字之和，第二步把它完全分解为质因数相乘的形式，再把所有质因数的每一位数字相加得到总和，最后对比两个总和是否相等，相等就符合要求，统计符合要求的数的总个数就能得到答案。
【解析】
我们逐个验证5个数字：
1. 验证数字4：
自身各位数字和为4，分解质因数得$4=2×2$，所有质因数的数字和为$2+2=4$，二者相等，因此4是史密斯数。
2. 验证数字15：
自身各位数字和为$1+5=6$，分解质因数得$15=3×5$，所有质因数的数字和为$3+5=8$，$6≠8$，因此15不是史密斯数。
3. 验证数字22：
自身各位数字和为$2+2=4$，分解质因数得$22=2×11$，所有质因数的数字和为$2+1+1=4$，二者相等，因此22是史密斯数。
4. 验证数字56：
自身各位数字和为$5+6=11$，分解质因数得$56=2×2×2×7$，所有质因数的数字和为$2+2+2+7=13$，$11≠13$，因此56不是史密斯数。
5. 验证数字225：
自身各位数字和为$2+2+5=9$，分解质因数得$225=3×3×5×5$，所有质因数的数字和为$3+3+5+5=16$，$9≠16$，因此225不是史密斯数。
综上，符合“史密斯数”特征的数一共有2个。
【答案】
B
【知识点】
分解质因数，新定义数判断
【点评】
本题是结合数学文化的趣味新定义题型，核心考查对新规则的理解能力和分解质因数的基础能力，易错点在于计算质因数数字和时，遇到多位数的质因数（如11）容易漏加其中某一位的数字，或是分解质因数不彻底，解题时只要严格按照定义步骤逐个核对，就能避免出错。
【难度系数】
0.6

【分析】
我们先从题目给出的条件梳理思路：首先明确树苗总棵数=每行棵数×行数，题目说明每行棵数和行数都是质数，因此我们的核心目标就是从四个数里找出唯一能分解成两个质数相乘的数。接下来我们只需要对66、72、77、80这四个数逐一做质因数分解，排查出符合要求的数，就能得到正确的总棵数。
【解析】
解：根据题意，树苗总棵数 = 每行棵数 × 行数，且每行棵数、行数均为质数，因此总棵数需要满足可以写成两个质数相乘的形式，逐个验证四个数：
1. 分解66：$66=2×3×11$，无法写成两个质数相乘的形式，不符合要求；
2. 分解72：$72=2^3×3^2$，无法写成两个质数相乘的形式，不符合要求；
3. 分解77：$77=7×11$，其中7和11都是质数，完全符合条件；
4. 分解80：$80=2^4×5$，无法写成两个质数相乘的形式，不符合要求。
因此只有77满足所有条件。
【答案】
农场里栽了77棵苹果树苗。因为77可以分解为两个质数相乘,即77=7×11,而其他三个数都不能分解为两个质数相乘。
【知识点】
质数定义，分解质因数
【点评】
本题结合实际场景考察质数的性质，解题关键是把题目条件转化为“总棵数是两个质数的乘积”的数学要求，再通过分解质因数逐一排查即可，需要学生准确掌握质数的定义，避免把合数误判为质数。
【难度系数】
0.7

【分析】
这道题已知三个连续自然数的乘积，求这三个数，我们可以按照以下思路思考：首先，对于已知几个数的乘积反推原数的问题，最常用的方法是分解质因数，先把乘积504拆成所有质数相乘的形式，再把得到的质因数重新分组组合，凑出符合“从小到大连续自然数”要求的三个数即可。观察分解后的质因数还能发现单独的质数7，可以快速锁定三个数里一定包含7，大幅缩小尝试的范围。
【解析】
第一步：对504分解质因数
用短除法逐步拆分：
504 ÷ 2 = 252
252 ÷ 2 = 126
126 ÷ 2 = 63
63 ÷ 3 = 21
21 ÷ 3 = 7
7是质数，无法继续拆分，因此得到：
504 = 2×2×2×3×3×7
第二步：组合质因数得到连续自然数
观察质因数中存在单独的质数7，若三个连续自然数中没有7，最小的7的倍数就是14，此时三个连续数至少是12、13、14，乘积远大于504，因此三个数中一定有7。
将剩余的质因数2×2×2×3×3进行组合：
2×2×2 = 8，3×3 = 9，刚好得到7、8、9三个数，三者是连续的自然数。
第三步：验证结果
计算7×8×9 = 504，和题目给出的乘积完全一致，符合条件。
【答案】
这三个人的年龄分别是7岁、8岁、9岁。
【知识点】
分解质因数，连续自然数性质
【点评】
本题是小学数论部分的典型习题，核心考察分解质因数方法的实际应用，通过找到质因数中的大质数快速缩小候选数范围，避免无意义的枚举试算，能够有效锻炼学生的数感和因数组合能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
这道题已知三个正整数的乘积是2910，要分别求出名次、年龄、分数三个数，最直接的解题思路是先对乘积2910做分解质因数处理，得到所有质因数后，再结合“夏亮是五年级学生”的现实条件，筛选出符合常识的数值：五年级学生的年龄通常在10岁左右，小学考试满分一般为100分，常规考试名次也不会出现几十名的极端靠前情况，把分解得到的质因数重新组合成三个符合现实逻辑的数，就能得到正确结果。
【解析】
步骤1：对2910分解质因数
2910末尾为0，说明能被10整除，先拆分得$2910=10×291=2×5×291$，再对291拆分，$291÷3=97$，97是质数无法继续拆分，因此可得：
$2910 = 2×3×5×97$
步骤2：结合实际条件筛选数值
① 首先判断97的属性：97远大于小学五年级学生的正常年龄，也不符合常规考试靠前的名次设定，小学考试满分多为100分，因此97只可能是考试分数。
② 剩余质因数为2、3、5，夏亮是五年级学生，正常年龄为10岁左右，将2和5组合得到$2×5=10$，完全符合五年级学生的年龄特征。
③ 最后剩余的质因数3，就是对应的考试名次，为第3名。
验证：$3×10×97=2910$，完全符合题干给出的乘积条件。
【答案】
夏亮的名次是第三名，年龄是10岁，这次考试的分数是97分。
【知识点】
分解质因数，逻辑推理
【点评】
本题是质因数分解结合生活常识的应用型题目，既考察了学生分解质因数的运算能力，又要求学生结合小学生年龄、考试分数的现实场景做合理筛选，避免出现脱离实际的错误推导，能很好地锻炼学生用数学知识解决生活实际问题的能力。
【难度系数】
0.6