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$\frac{5}{2}$
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证明：
∵​$a^2=(\mathrm {m^2}-n^2)^2=m^4-2\ \mathrm {m^2}n^2+n^4$​，
​$b^2=(2mn)^2=4\ \mathrm {m^2}n^2$​，
​$c^2=(\mathrm {m^2}+n^2)^2=m^4+2\ \mathrm {m^2}n^2+n^4$​，
∴​$a^2+b^2=m^4+2\ \mathrm {m^2}n^2+n^4=c^2$​，
∴​$△ ABC$​是直角三角形。
解：
解法一：
∵​$AD$​为​$△ ABC$​的中线，​$BC=10$​，
∴​$BD=CD=5$​。
∵​$AC=13$​，​$AD=12$​，
∴​$AD^2+CD^2=12^2+5^2=169$​，​$AC^2=13^2=169$​，
∴​$AD^2+CD^2=AC^2$​，
∴​$∠ ADC=90°$​。
∵​$∠ ADC+∠ ADB=180°$​，
∴​$∠ ADB=90°$​。
∴在​$Rt△ ADB$​中，
​$AD^2+BD^2=AB^2$​，
即​$12^2+5^2=AB^2$​，
∴​$AB^2=169$​，
∴​$AB=13$​，
∴​$△ ABD$​的周长为​$5+12+13=30$​。
解法二：
同解法一，得​$∠ ADC=90°$​。
∴​$AD$​垂直平分​$BC$​，
∴​$AB=AC=13$​，
∴​$△ ABD$​的周长为​$5+12+13=30$​。
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