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解：
​$ (1) $​∵四边形​$ABCD$​是长方形，
∴​$AD=BC=5\ \mathrm {m}$​，​$AB=CD=8\ \mathrm {m}$​，​$∠ A=∠ C=90°$​。
如图，当​$0 ≤ t ≤ 4$​时，点​$P $​在​$AB$​边上，​$AP=2t m$​，

​$ $​此时​$S=\frac {1}{2} × 2t × 5=5t$​。
如图，当​$4 ＜ t ≤ 6.5$​时，点​$P $​在​$BC$​边上，​$CP=(13-2t)\ \mathrm {m}$​，

​$ $​此时​$S=5 × 8 - \frac {1}{2} × 8 × (13-2t)=8t-12$​。
综上所述，​$S $​关于点​$P $​的运动时间​$t $​的函数表达式为
​$ S=\begin {cases} 5t & (0 ≤ t ≤ 4) \\8t-12 & (4 ＜ t ≤ 6.5) \end {cases}$​
​$ (2) $​电子屏面积为​$5 × 8=40\ \mathrm {m^2}$​，​$\frac {1}{4} × 40=10\ \mathrm {m^2}$​。
​$ $​当​$5t=10$​时，解得​$t=2$​，
​$ $​播放时间持续​$3\ \mathrm {s}$​，则播放结束时​$t=2+3=5$​，此时点​$P $​在​$BC$​边上，
​$ $​代入​$S=8t-12$​，得​$S=8 × 5 -12=28$​。
​$ $​当​$8t-12=10$​时，解得​$t=\frac {11}{4}＜4$​，不符合题意，舍去。
答：播放结束时展开的画面面积是​$28\ \mathrm {m^2}$​。
解：
​$ (1) $​设购进甲种运动鞋​$x$​双，则购进乙种运动鞋​$(200-x)$​双。
根据题意，得
​$ \begin {cases} (240-100)x + (160-80)(200-x) ≥ 21700 \\(240-100)x + (160-80)(200-x) ≤ 22300 \end {cases}$​
解不等式①，得​$x ≥ 95$​；
解不等式②，得​$x ≤ 105$​。
∴不等式组的解集是​$95 ≤ x ≤ 105$​。
∵​$x$​是正整数，
​$ 105-95+1=11($​种​$)$​，
∴该专卖店有​$11$​种进货方案。
​$ (2) $​设总利润为​$W_{元}$​，由题意得：
​$ W=(240-100-a)x + (160-80)(200-x)=(60-a)x + 16000 \quad (95 ≤ x ≤ 105)$​
​$ ① $​当​$50 ＜ a ＜ 60$​时，​$60-a＞0$​，此时​$W_{随}x$​的增大而增大，
∴当​$x=105$​时，​$W $​有最大值，​$200-x=95$​，
​$ $​此时应购进甲种运动鞋​$105$​双，购进乙种运动鞋​$95$​双。
​$ ② $​当​$a=60$​时，​$60-a=0$​，​$W=16000$​，
∴​$(1)$​中所有方案获得的利润都为​$16000$​元，所有进货方案均可。
​$ ③ $​当​$60 ＜ a ＜70$​时，​$60-a＜0$​，此时​$W $​随​$x$​的增大而减小，
∴当​$x=95$​时，​$W $​取得最大值，​$200-x=105$​，
​$ $​此时应购进甲种运动鞋​$95$​双，购进乙种运动鞋​$105$​双。
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