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解：​$(1) $​因为点​$A(4，2)$​在反比例函数​$y=\frac {k}{x}(x＞0)$​的图象上，
​$ $​所以​$k=4×2=8$​。
​$ $​对于​$y=2x-6$​，令​$y=0$​，得​$2x-6=0$​，解得​$x=3$​，
​$ $​故点​$B$​的坐标为​$(3，0)$​。
​$ (2) $​存在点​$C$​，使​$AC=AB$​。
​$ $​过点​$A$​作​$AD⊥ x$​轴于点​$D$​，
因为点​$A$​的坐标为​$(4，2)$​，
所以点​$D$​的坐标为​$(4，0)$​。
​$ $​又​$AC=AB$​，
所以​$D$​为​$BC$​的中点。
​$ $​设点​$C$​的坐标为​$(x_0，0)$​，
因为点​$B$​的坐标为​$(3，0)$​，
​$ $​所以​$\frac {x_0+3}{2}=4$​，
解得​$x_0=5$​，
​$ $​所以点​$C$​的坐标为​$(5，0)$​。
解：​$(1) ① $​因为点​$B$​的坐标为​$(-1，2)$​，点​$A$​关于​$y$​轴的对称点为​$B$​，
​$ $​所以点​$A$​的坐标为​$(1，2)$​。
​$ $​又反比例函数​$y_1=\frac {k_1}{x}(x＞0)$​与正比例函数​$y_2=k_2x$​的图象交于点​$A$​，
​$ $​所以​$k_1=1×2=2$​，​$k_2=\frac {2}{1}=2$​。
​$ ② x$​的取值范围为​$x＞1$​。
​$ (2) $​设点​$A$​的坐标为​$(m，n)$​。
​$ $​因为点​$A$​关于​$y$​轴的对称点为​$B$​，
所以点​$B$​的坐标为​$(-m，n)$​。
​$ $​由题意得​$k_1=mn$​，​$k_3=-mn$​，
​$ $​所以​$k_1+k_3=mn-mn=0$​。
解：​$(1) $​因为​$M(\frac {1}{2}，4)$​，​$N(n，1)$​两点都在反比例函数​$y=\frac {k}{x}$​的图象上，
​$ $​所以​$k=\frac {1}{2}×4=2$​，即​$n=2$​，
​$ $​所以反比例函数的表达式为​$y=\frac {2}{x}$​，点​$N$​的坐标为​$(2，1)$​。
​$ $​设一次函数的表达式为​$y=k_1x+b$​，
把点​$M(\frac {1}{2}，4)$​，​$N(2，1)$​分别代入，得
​$ \begin {cases}\frac {1}{2}k_1+b=4，\\2k_1+b=1，\end {cases}$​解得​$\begin {cases}k_1=-2，\\b =5，\end {cases}$​
​$ $​故一次函数的表达式为​$y=-2x+5$​。
​$ (2) $​设一次函数​$y=-2x+5$​的图象交​$y$​轴于点​$A$​，
则点​$A$​的坐标为​$(0，5)$​，
所以​$OA=5$​。
​$ $​又点​$M$​为​$(\frac {1}{2}，4)$​，点​$N$​为​$(2，1)$​，
​$ $​所以​$S_{△ OMN}=S_{△ OAN}-S_{△ OAM}=\frac {1}{2}×5×2-\frac {1}{2}×5×\frac {1}{2}=\frac {15}{4}$​，
​$ $​故​$△ OMN$​的面积为​$\frac {15}{4}$​。
​$ (3) $​作点​$M$​关于​$y$​轴的对称点​$M'$​，连接​$M'N$​交​$y$​轴于点​$P'$​，连接​$PM$​，
则​$PM'=PM$​，
​$ $​所以​$PM+PN=PM'+PN≥ M'N$​，
即当​$P$​，​$P'$​两点重合时，​$PM+PN$​的值最小，最小值等于​$M'N$​的长。
​$ $​因为点​$M$​的坐标为​$(\frac {1}{2}，4)$​，
所以点​$M'$​的坐标为​$(-\frac {1}{2}，4)$​。
​$ $​因为点​$N$​的坐标为​$(2，1)$​，
所以直线​$M'N$​的函数表达式为​$y=-\frac {6}{5}x+\frac {17}{5}$​。
​$ $​令​$x=0$​，得​$y=\frac {17}{5}$​，
故点​$P $​的坐标为​$(0，\frac {17}{5})$​。
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