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解：​$ (1) $​把​$x_1=-1$​代入方程​$(x-1)(x-2)=\mathrm {m^2}$​，
​$ $​得​$(-1-1)×(-1-2)=\mathrm {m^2}$​，即​$\mathrm {m^2}=6$​，
​$ $​解得​$m=\pm \sqrt {6}$​。
​$ $​原方程整理为​$x^2-3x+2-\mathrm {m^2}=0$​，
​$ $​由根与系数的关系得​$x_1+x_2=3$​，
​$ $​因为​$x_1=-1$​，所以​$x_2=3-(-1)=4$​。
​$ (2) $​证明：将方程​$(x-1)(x-2)=\mathrm {m^2}$​整理为​$x^2-3x+2-\mathrm {m^2}=0$​，
​$ $​由根与系数的关系得​$x_1+x_2=3$​，​$x_1x_2=2-\mathrm {m^2}$​，
​$ $​所以​$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-\mathrm {m^2}-3+1=-\mathrm {m^2}$​，
​$ $​因为​$\mathrm {m^2}≥0$​，所以​$-\mathrm {m^2}≤0$​，
​$ $​即​$(x_1-1)(x_2-1)≤0$​。
解：​$ (1) $​把点​$B(8，0)$​代入​$y=-\frac {1}{2}x+b$​，
​$ $​得​$-\frac {1}{2}×8 + b=0$​，解得​$b=4$​，
​$ $​所以一次函数的表达式为​$y=-\frac {1}{2}x+4$​。
​$ $​把​$A(m，3)$​代入​$y=-\frac {1}{2}x+4$​，
​$ $​得​$-\frac {1}{2}m +4=3$​，解得​$m=2$​，
​$ $​所以​$A(2，3)$​。
​$ $​把​$A(2，3)$​代入​$y=\frac {k}{x}$​，得​$3=\frac {k}{2}$​，
解得​$k=6$​，
​$ $​所以反比例函数的表达式为​$y=\frac {6}{x}(x＞0)$​。
​$ (2) $​过点​$A$​作​$AM⊥ y$​轴于点​$M$​，
​$ $​因为​$A(2，3)$​，所以​$AM=2$​。
​$ $​在​$y=-\frac {1}{2}x+4$​中，令​$x=0$​，得​$y=4$​，
所以​$C(0，4)$​，即​$OC=4$​。
​$ $​设​$OP=n$​，
因为​$P $​在​$y$​轴负半轴，
所以​$PC=OC+OP=4+n$​。
​$ $​由​$S_{△ ACP}=\frac {1}{2}· PC· AM=6$​，
​$ $​得​$\frac {1}{2}×(4+n)×2=6$​，即​$4+n=6$​，解得​$n=2$​，
​$ $​所以点​$P $​的坐标为​$(0，-2)$​。
解：​$(1) $​设增加的长度为​$x\ \mathrm {m}$​，
​$ $​由题意得​$(35+x)(15+x)=800$​，
​$ $​整理得​$x^2+50x-275=0$​，
​$ $​解得​$x_1=5$​，​$x_2=-55($​不合题意，舍去），
​$ $​所以新矩形的长为​$35+5=40\ \mathrm {m}$​，宽为​$15+5=20\ \mathrm {m}$​。
答：新的矩形绿地的长为​$40\ \mathrm {m}$​，宽为​$20\ \mathrm {m}$​。
​$ (2) $​设增加的长度为​$y\ \mathrm {m}$​，
​$ $​由题意得​$(35+y)：(15+y)=5：3$​，
​$ $​解得​$y=15$​，符合题意，
​$ $​所以新矩形的长为​$35+15=50\ \mathrm {m}$​，宽为​$15+15=30\ \mathrm {m}$​，
​$ $​新矩形的面积为​$50×30=1500\ \mathrm {m^2}$​。
答：新的矩形绿地的面积为​$1500\ \mathrm {m^2}$​。
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