第64页

信息发布者：
6×90÷18=30
答：另一个数是30。
72÷6=12
12=1×12=3×4
1×6=6
12×6=72
3×6=18
4×6=24
答：这两个数可能是6和72或18和24。
140÷5=28
将28拆分为互质的1和28
5×1=5
5×28=140
5+140=145
答：a+b的最大值是145。
28÷4=7
7=1×7
4×1=4
4×7=28
答：这两个数分别是4和28。
【分析】
这道题的核心是利用两个非零自然数的最大公因数、最小公倍数和两数本身的固定关系来求解。首先我们可以直接套用“两个数的乘积 = 两数的最大公因数 × 两数的最小公倍数”这个结论，直接代入已知的最大公因数12、最小公倍数72、A的值36，就能直接算出B。第二种思路是拆分因数：把A和B都拆成“最大公因数 × 各自独有的互质因数”的形式，而最小公倍数刚好等于最大公因数乘两个数各自独有的因数，我们可以先算出A独有的因数，再反推出B独有的因数，最后乘最大公因数得到B，两种方法还可以互相验证结果是否正确。
【解析】
方法一：利用两数乘积与最大公因数、最小公倍数的关系计算
根据性质：$A × B = \mathrm{最大公因数} × \mathrm{最小公倍数}$
代入已知数值计算：
$12 × 72 = 864$
$864 ÷ 36 = 24$
方法二：通过拆分独有因数计算
1. 先求A独有的因数：A是最大公因数和A独有因数的乘积，因此A独有的因数 = $A ÷ \mathrm{最大公因数} = 36 ÷ 12 = 3$
2. 再求B独有的因数：最小公倍数 = 最大公因数 × A独有因数 × B独有因数，因此B独有的因数 = $\mathrm{最小公倍数} ÷ \mathrm{最大公因数} ÷ A\mathrm{独有因数} = 72 ÷ 12 ÷ 3 = 2$
3. 最后计算B的值：$B = \mathrm{最大公因数} × B\mathrm{独有因数} = 12 × 2 = 24$
【答案】
B是24
【知识点】
最大公因数；最小公倍数；公因公倍关系
【点评】
本题是数论板块中最大公因数与最小公倍数应用的经典基础题型，两种解题思路分别对应了该类问题的两种常用推导逻辑，既可以直接套用核心公式快速计算，也可以通过拆分独有因数的方式从原理层面推导，能帮助学生跳出死记硬背公式的误区，真正理解最大公因数、最小公倍数和原数之间的内在关联，两种方法也可互相验算避免计算错误。
【难度系数】
0.7
【分析】
我们拿到这道题，已知两个数的最大公因数、最小公倍数，还知道其中一个数，要找另一个数。首先可以回忆数论里关于最大公因数和最小公倍数的核心规律：任意两个正整数的乘积，等于这两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积。我们不需要盲目枚举试算，直接利用这个规律变形，就可以得到“另一个数 = 最大公因数 × 最小公倍数 ÷ 已知的数”，代入对应数值计算就能得到结果，最后还可以反向验证算出的数和18的最大公因数、最小公倍数是否符合题干条件，确保结果正确。
【解析】
第一步：明确核心性质：对于任意两个正整数a、b，都有 $a × b = \mathrm{gcd}(a,b) × \mathrm{lcm}(a,b)$，其中$\mathrm{gcd}(a,b)$代表两数的最大公因数，$\mathrm{lcm}(a,b)$代表两数的最小公倍数。
第二步：对公式变形求未知的另一个数：已知其中一个数是18，最大公因数是6，最小公倍数是90，因此另一个数 = 最大公因数 × 最小公倍数 ÷ 已知数。
第三步：代入数值计算：
$6 × 90 ÷ 18 = 540 ÷ 18 = 30$
第四步：验证：18分解质因数为$2×3^2$，30分解质因数为$2×3×5$，二者最大公因数是$2×3=6$，最小公倍数是$2×3^2×5=90$，完全符合题干条件，结果正确。
【答案】30
【知识点】最大公因数、最小公倍数、公因公倍乘积性质
【点评】这是公因数公倍数模块的经典基础题，核心考察学生对“两数乘积等于最大公因数乘最小公倍数”这个常用结论的掌握，不需要复杂的分解质因数推导，熟练掌握该结论可以大幅提升解题速度，做完后反向验证可以有效避免计算错误。
【难度系数】0.7
【分析】
我们可以利用最大公因数和最小公倍数的关联来解题：已知两个数的最大公因数是6，说明这两个数都可以写成6乘某个自然数的形式，且这两个自然数必须互质（也就是它们的最大公因数是1，否则两个数的整体最大公因数就会大于6）。再结合最小公倍数的性质，用最小公倍数除以最大公因数，就能得到这两个互质自然数的乘积，接下来只需要找出所有乘积等于该结果、且互质的正整数对，分别乘6就能得到对应的两个数，最后验证排除不符合条件的组合即可。
【解析】
1. 设这两个自然数分别为6a、6b，其中a、b是自然数，且a和b互质（即最大公因数为1）。
2. 根据两个数的最小公倍数计算公式：两个数的最小公倍数 = 最大公因数 × a × b，代入已知条件得：
$6ab=72$，计算可得 $ab=72÷6=12$。
3. 列出所有乘积为12的正整数对：(1,12)、(2,6)、(3,4)。
4. 筛选互质的数对：
数对(1,12)：最大公因数为1，符合互质要求；
数对(2,6)：最大公因数为2，不满足互质要求，排除；
数对(3,4)：最大公因数为1，符合互质要求。
5. 将符合要求的数对分别乘6得到对应自然数：
第一组：$6×1=6$，$6×12=72$；
第二组：$6×3=18$，$6×4=24$。
反向验证可知两组数的最大公因数都是6，最小公倍数都是72，均符合题意。
【答案】
这两个数可能是6和72，或18和24。
【知识点】
最大公因数，最小公倍数，互质数
【点评】
本题考察最大公因数与最小公倍数的内在联系，易错点是分解因数对时忘记筛选互质的组合，容易误把12和36这类不符合最大公因数要求的组合作为答案，解题后可以反向验证结果是否匹配题干条件，避免出错。
【难度系数】
0.6
【分析】
我们要解决这道求a+b最大值的问题，可以按照以下思路逐步思考：
1. 先明确已知条件的性质：a、b的最大公因数是5，说明a和b都是5的倍数，且除了5之外没有其他公共的质因数；二者的最小公倍数是140。
2. 利用数论基本规律：两个正整数的乘积等于它们的最大公因数乘最小公倍数，也就是$a×b=5×140=700$，乘积固定的两个数，差值越大，它们的和就越大。
3. 要让两数差尽可能大，就需要其中一个数尽可能小，另一个数尽可能大。符合条件的最小数就是最大公因数本身5，对应的另一个数就是140，验证后完全满足条件，此时的和就是最大值。
【解析】
1. 先对最小公倍数140做质因数分解：$140=2×2×5×7$。
2. 结合最大公因数的性质分析：因为a和b的最大公因数是5，说明两个数都包含质因数5，且除了5之外没有其他公共的质因数。
3. 要让a+b的和最大，需要让两个数的差值尽可能大：符合条件的最小自然数是5，此时对应的另一个数就是最小公倍数140。
4. 验证条件：5和140的最大公因数是5，最小公倍数是140，完全符合题目要求，计算两数之和：$5+140=145$。
【答案】
145
【知识点】
最大公因数性质，最小公倍数性质，质因数分解
【点评】
本题考察最大公因数与最小公倍数的关联应用，利用“乘积固定的两个数，差越大和越大”的规律可以快速求解，避免了枚举所有数对的冗余计算，部分同学容易错误拆分质因数得到其他数对，忽略了取最小数为最大公因数本身就能得到最大和的结论。
【难度系数】
0.6
【分析】
我们可以利用两个数的最大公因数和最小公倍数的关联来解题：首先已知两个数的最大公因数是4，说明这两个数都是4的倍数，我们可以把这两个数表示为4乘两个互质的自然数a和b，也就是两数为4a、4b，且a和b的最大公因数是1。接下来根据性质，两个数的最小公倍数就等于最大公因数乘a乘b，所以用最小公倍数28除以最大公因数4，就能得到a和b的乘积是7。接下来把7拆成两个互质的自然数相乘，7是质数，只能拆成1×7，最后分别乘最大公因数4得到两个数，再验证两数的差是否为24即可得到答案。
【解析】
1. 设这两个自然数分别为$4a$、$4b$（其中$a$、$b$是互质的自然数，即二者最大公因数为1）。
2. 根据最大公因数和最小公倍数的关系：两个数的最小公倍数 = 最大公因数 × $a × b$，因此可得：
$a × b = 28 ÷ 4 =7$
3. 7是质数，拆分得到互质的两个自然数仅能为$a=1$，$b=7$。
4. 计算两个数：
$4×1=4$，$4×7=28$
5. 验证条件：两数差为$28-4=24$，完全符合题干要求。
【答案】
这两个数分别是4和28。
【知识点】
最大公因数，最小公倍数，互质性质
【点评】
本题属于公因数公倍数的基础应用题型，核心是掌握“若两数最大公因数为d，将两数除以d后得到的两个数互质，且两数的最小公倍数等于d乘以这两个互质数的乘积”这一规律，解题时拆分出独有因数后，最后验证题干给出的差的条件即可，难度不高，适合巩固对公因数公倍数关系的理解。
【难度系数】
0.6
上一页 下一页