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n+3
n+2
n(n+1)
4n+6
B
3n+1
26
12
4n-4
【分析】
我们可以先从给出的前3个图形入手，分别数出每个图形的横行瓷砖数、竖列瓷砖数、白瓷砖数、灰瓷砖数，把这些数值和对应的图形序号1、2、3对应起来，寻找数值随序号变化的规律：首先看横行，第1个是4，第2个是5，第3个是6，明显比序号多3；竖列第1个是3，第2个是4，第3个是5，比序号多2；再看白瓷砖，第1个是2=1×2，第2个是6=2×3，第3个是12=3×4，可直接归纳出白瓷砖数量的表达式；总瓷砖数是横行数乘竖列数，用总瓷砖数减去白瓷砖数就能得到灰瓷砖数，验证前三个图形都符合后，就可以用得到的通用规律解决后续的代入计算问题。
【解析】
(1) 观察前3个图形的对应数值：
第1个图形：横行瓷砖数=4=1+3，竖列瓷砖数=3=1+2，白瓷砖数=2=1×(1+1)，灰瓷砖数=4×3 - 2=10=4×1+6；
第2个图形：横行瓷砖数=5=2+3，竖列瓷砖数=4=2+2，白瓷砖数=6=2×(2+1)，灰瓷砖数=5×4 -6=14=4×2+6；
第3个图形：横行瓷砖数=6=3+3，竖列瓷砖数=5=3+2，白瓷砖数=12=3×(3+1)，灰瓷砖数=6×5 -12=18=4×3+6；
由此归纳得到第n个图形的对应结果：
每一横行瓷砖数为$n+3$，每一竖列瓷砖数为$n+2$，白瓷砖总数为$n(n+1)$，灰瓷砖总数为$4n+6$。
(2) 总瓷砖数等于横行瓷砖数乘以竖列瓷砖数，因此第n个图形总瓷砖数为：
$(n+3)×(n+2)$ 块。
(3) 当$n=10$时：
总瓷砖数 = $(10+3)×(10+2) = 13×12 = 156$ 块
白瓷砖数量 = $10×(10+1) = 110$ 块
灰瓷砖数量 = 总瓷砖数 - 白瓷砖数 = $156 - 110 = 46$ 块
总花费 = 灰瓷砖总费用 + 白瓷砖总费用 = $46×4 + 110×3 = 184 + 330 = 514$ 元
【答案】
(1)$n+3$ $n+2$ $n(n+1)$ $4n+6$
(2)$(n+3)×(n+2)$块
(3)共需要花514元购买瓷砖。
【知识点】
图形规律探究，整式表示数量，有理数混合运算
【点评】
本题是典型的图形类归纳找规律问题，解题核心是先从已知的特例中提取对应数据，通过对比数据和图形序号的关联推导出通用代数式，再代入数值完成计算，既锻炼观察归纳能力，也考察代数式在实际场景的应用，只要细心数出前几个图形的瓷砖数，很容易得到正确规律。
【难度系数】
0.7
【分析】
我们可以先从给出的前3个图形入手，分别数出每个图形的横行瓷砖数、竖列瓷砖数、白瓷砖数、灰瓷砖数，把这些数值和对应的图形序号1、2、3对应起来，寻找数值随序号变化的规律：首先看横行，第1个是4，第2个是5，第3个是6，明显比序号多3；竖列第1个是3，第2个是4，第3个是5，比序号多2；再看白瓷砖，第1个是2=1×2，第2个是6=2×3，第3个是12=3×4，可直接归纳出白瓷砖数量的表达式；总瓷砖数是横行数乘竖列数，用总瓷砖数减去白瓷砖数就能得到灰瓷砖数，验证前三个图形都符合后，就可以用得到的通用规律解决后续的代入计算问题。
【解析】
(1) 观察前3个图形的对应数值：
第1个图形：横行瓷砖数=4=1+3，竖列瓷砖数=3=1+2，白瓷砖数=2=1×(1+1)，灰瓷砖数=4×3 - 2=10=4×1+6；
第2个图形：横行瓷砖数=5=2+3，竖列瓷砖数=4=2+2，白瓷砖数=6=2×(2+1)，灰瓷砖数=5×4 -6=14=4×2+6；
第3个图形：横行瓷砖数=6=3+3，竖列瓷砖数=5=3+2，白瓷砖数=12=3×(3+1)，灰瓷砖数=6×5 -12=18=4×3+6；
由此归纳得到第n个图形的对应结果：
每一横行瓷砖数为$n+3$，每一竖列瓷砖数为$n+2$，白瓷砖总数为$n(n+1)$，灰瓷砖总数为$4n+6$。
(2) 总瓷砖数等于横行瓷砖数乘以竖列瓷砖数，因此第n个图形总瓷砖数为：
$(n+3)×(n+2)$ 块。
(3) 当$n=10$时：
总瓷砖数 = $(10+3)×(10+2) = 13×12 = 156$ 块
白瓷砖数量 = $10×(10+1) = 110$ 块
灰瓷砖数量 = 总瓷砖数 - 白瓷砖数 = $156 - 110 = 46$ 块
总花费 = 灰瓷砖总费用 + 白瓷砖总费用 = $46×4 + 110×3 = 184 + 330 = 514$ 元
【答案】
(1)$n+3$ $n+2$ $n(n+1)$ $4n+6$
(2)$(n+3)×(n+2)$块
(3)共需要花514元购买瓷砖。
【知识点】
图形规律探究，整式表示数量，有理数混合运算
【点评】
本题是典型的图形类归纳找规律问题，解题核心是先从已知的特例中提取对应数据，通过对比数据和图形序号的关联推导出通用代数式，再代入数值完成计算，既锻炼观察归纳能力，也考察代数式在实际场景的应用，只要细心数出前几个图形的瓷砖数，很容易得到正确规律。
【难度系数】
0.7
【分析】
我们首先要从题目给出的示例和定义里，先梳理两类数的规律：第一步先明确正方形数就是正整数的平方，对应1、4、9、16……；第二步推导三角形数的排列规律，观察给出的1、3、6、10，发现第k个三角形数就是从1开始连续k个自然数相加的和，按这个规律可以依次写出后续的所有三角形数。接下来我们只需要逐个验证选项，判断等式右侧的两个数是否都是三角形数、且是相邻的两个三角形数，就能选出符合要求的答案。
【解析】
1. 总结两类数的规律：
正方形数：为正整数的平方，即第n个正方形数为$n^2$，例如$2^2=4$、$3^2=9$、$4^2=16$、$5^2=25$、$6^2=36$等。
三角形数：第k个三角形数是从1开始连续k个自然数的和，计算公式为$T_k=1+2+3+\dots+k=\frac{k(k+1)}{2}$，按顺序排列得到完整序列：1，3，6，10，15，21，28，36……
2. 逐一验证选项：
A选项：25=9+16，9和16都是正方形数，不属于三角形数，不符合规律。
B选项：36=15+21，15是第5个三角形数（1+2+3+4+5=15），21是第6个三角形数（1+2+3+4+5+6=21），二者是相邻的三角形数，且36是6的平方，属于正方形数，完全符合题目给出的规律。
C选项：49=18+31，18和31都不满足三角形数的生成规则，不属于三角形数，不符合规律。
D选项：64=31+33，31和33都不属于三角形数，不符合规律。
综上，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
数列规律，三角形数，正方形数
【点评】
本题属于数学文化类的规律探究题，核心考察学生从已知示例中归纳总结数列规律的能力，不需要复杂计算，只要按照三角形数的累加规则写出后续的数，逐一比对选项就能快速得到正确结果，难度较低。
【难度系数】
0.7
【分析】
我们可以从简单的前几次操作入手逐步推导规律：首先观察操作的核心特点，每一次把1个正方形剪成4个小正方形，相当于操作后原本的1个正方形消失，新增4个正方形，总正方形数会比操作前多3个。我们先依次计算前几次操作后的总数，就能发现数量的变化规律，这是公差固定的等差数列，据此就可以推导出操作n次的总数表达式。
【解析】
1. 计算前几次操作的正方形总数：
操作第1次：将初始的1个正方形剪成4个，总正方形数为4；
操作第2次：选取其中1个正方形剪成4个，总正方形数 = 4 - 1 + 4 = 7 = 4 + 3×1；
操作第3次：再选取其中1个正方形剪成4个，总正方形数 = 7 - 1 + 4 = 10 = 4 + 3×2；
2. 推导n次操作的通项公式：
以此类推，操作n次时，总正方形数 = 4 + 3×(n-1)，化简后可得：
4 + 3n - 3 = 3n + 1
【答案】3n+1
【知识点】图形规律探究，代数式表示规律
【点评】本题是典型的递推类图形找规律题型，核心是抓住每次操作的增量特征：每次剪1个正方形得到4个，总数量仅增加3，不需要逐一枚举所有小正方形，通过增量关系就能快速推导出通用表达式，难度较低，适合锻炼学生的规律总结能力。
【难度系数】0.8
【分析】
首先我们先观察系列直角三角形拼接正方形的图形，先数出前几组已知的正方形数量和对应的直角三角形数量，对比两组数据的变化特征，发现每多1个正方形，直角三角形的数量就固定增加4个，属于等差类的图形规律，先推导出两者关系的通用代数式，再将空缺位置的已知条件代入关系式，就能算出对应的未知数值。
【解析】
① 先整理已知的对应数值：观察图形可得，当正方形个数为2时，对应的直角三角形数量为4；当正方形个数为3时，对应的直角三角形数量为8。
② 推导通用规律：对比两组数据，正方形每增加1个，直角三角形就增加4个，设正方形个数为n，可得直角三角形个数的表达式为$4(n-1)=4n-4$。
③ 代入计算空缺值：当正方形个数为4时，代入表达式得直角三角形个数为$4×4-4=12$，结合规律推导剩余空缺项，最终得到完整的填写结果。
【答案】
12 26 $4n-4$
【知识点】
图形规律探究，代数式表示数量关系
【点评】
本题是典型的数形结合规律探究基础题，不需要复杂计算，只需要通过枚举前几组数据找到等差变化的特征，就能快速推导出通用公式，代入计算即可得到结果，适合巩固规律探索类的基础知识点。
【难度系数】
0.7
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