第73页 - 江苏版实验班提优训练数学五年级上下册答案

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11

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2平方厘米

1

4

4平方厘米

2

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7平方厘米

5

6

9平方厘米

6

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答：任何一个多边形的面积=图形内的格点数+边上的格点数÷2-1，即$S=N+L÷2-1。$

【分析】
首先题目给出涂色小正方形边长为1厘米，说明钉子板上相邻两个钉子的间距为1厘米，我们只需要数出每个图形对应边长方向的间隔数，就能得到对应边的长度，再分别代入长方形、三角形、平行四边形、梯形的面积公式，即可算出各个图形的相关参数和面积。解题时先逐个图形识别所需的底、高、长、宽等要素，再代入对应公式计算即可。
【解析】
已知涂色小正方形边长为1厘米，可得钉子板上相邻两个钉子的水平、竖直间距均为1厘米：
(1) 长方形水平方向长占4个间隔，因此长为4厘米；竖直方向宽占2个间隔，因此宽为2厘米，根据长方形面积公式：面积=长×宽，可得面积=4×2=8平方厘米。
(2) 三角形的水平底边占4个间隔，底长为4厘米，竖直方向的高占2个间隔，高为2厘米，根据三角形面积公式：面积=底×高÷2，可得面积=4×2÷2=4平方厘米。
(3) 平行四边形的水平底占4个间隔，底长为4厘米，竖直方向的高占2个间隔，高为2厘米，根据平行四边形面积公式：面积=底×高，可得面积=4×2=8平方厘米。
(4) 梯形的上底水平方向占2个间隔，上底长为2厘米；下底水平方向占4个间隔，下底长为4厘米；竖直方向的高占2个间隔，高为2厘米，根据梯形面积公式：面积=(上底+下底)×高÷2，可得面积=(2+4)×2÷2=6平方厘米。
【答案】
(1)4 2 8 (2)4 (3)8 (4)2 4 2 6
【知识点】
长方形面积计算，三角形面积计算，梯形面积计算
【点评】
本题依托钉子板格点场景，先引导学生明确单位长度的判定方法，考察学生对常见平面多边形的边长识别能力和基础面积公式的运用，题型基础，能有效帮助学生巩固各类多边形面积的计算逻辑，建立格点图形和面积公式的对应认知。
【难度系数】
0.9

【分析】
我们拿到这道格点图形求面积的题目，首先观察图形是不规则的宝塔形状，最简便的思路就是用分割法，把这个复杂的不规则图形拆分成我们已经熟练掌握面积公式的规则图形：首先看最顶端是三角形，中间部分是正方形，最底部是长方形，分别确定这三个规则图形的边长/底高参数，代入对应面积公式算出每部分的面积，最后把三部分面积相加，就能得到整个宝塔图形的总面积。
【解析】
我们将宝塔图形分割为3个规则图形分别计算面积，再求和：
1. 顶部三角形：底长为2cm，高为3cm，根据三角形面积公式：
$S_1 = \frac{1}{2} × 底 × 高 = \frac{1}{2} × 2 × 3 = 3 \ \mathrm{平方厘米}$
2. 中部正方形：边长为2cm，根据正方形面积公式：
$S_2 = 边长 × 边长 = 2 × 2 = 4 \ \mathrm{平方厘米}$
3. 底部长方形：长为4cm，宽为1cm，根据长方形面积公式：
$S_3 = 长 × 宽 = 4 × 1 = 4 \ \mathrm{平方厘米}$
宝塔图形总面积为三部分之和：$S = S_1 + S_2 + S_3 = 3 + 4 + 4 = 11 \ \mathrm{平方厘米}$
【答案】
11平方厘米
【知识点】
三角形面积计算，正方形长方形面积，割补法求面积
【点评】
本题是格点不规则图形面积的基础题型，通过分割法将陌生的不规则图形拆解为熟悉的基础规则图形，化繁为简，不需要使用复杂的格点公式即可快速求解，能帮助学生建立拆分复杂问题的解题思维。
【难度系数】
0.7

【分析】
这道题是正等边三角形格点下的多边形面积计算问题，我们可以用正三角格点对应的皮克定理来求解。首先第一步，先准确数出所求三角形内部包含的格点数量，第二步数出三角形三条边上所有的格点总数量，第三步代入正三角格点的面积公式计算即可，要注意这里每相邻三点构成的最小等边三角形面积是1，对应的皮克公式和正方形格点的公式有区别，不要混淆。
【解析】
1. 统计内部格点：观察图形，所求三角形内部的格点总数为4个。
2. 统计边界格点：数出三角形三条边上的所有格点（包含三个顶点），总数量为4个。
3. 代入正三角形格点的皮克公式：当最小等边三角形面积为1时，格点多边形面积公式为$S=(内部格点数+\frac{边界格点数}{2}-1)×2$。
代入数值计算：
$S=(4 + 4÷2 -1)×2=(4+2-1)×2=5×2=10$（平方厘米）
【答案】
10平方厘米
【知识点】
三角格点皮克定理，格点面积计算
【点评】
本题重点考察正三角形格点的面积计算方法，核心是区分开正方形格点和正三角格点的皮克公式差异，解题的易错点是数内部格点、边界格点时出现漏数、重复计数的问题，准确数出两类格点的数量后代入公式即可快速得到结果。
【难度系数】
0.4

【分析】
解题时先分两步走：第一步先处理第(1)问，首先明确三个量的定义：S是多边形面积，规则格点多边形可直接用面积公式计算，不规则的用割补法求解；N是完全落在多边形内部、不在边上的格点数量，逐个点数即可；L是多边形所有边上的格点总数，注意多边形的顶点属于两条边，计数时不要重复累加顶点。逐个统计四个图形的三个量，填入统计表即可。第二步处理第(2)问，将四组得到的S、N、L数据代入尝试运算，验证不同运算组合的结果是否和S相等，多组数据统一符合的运算关系就是要找的规律。
【解析】
(1) 逐个统计四个多边形的对应数值：
图形①：通过割补/基础面积公式计算得面积S=2平方厘米，内部格点N=1，边上总格点数L=4；
图形②：计算得面积S=4平方厘米，内部格点N=2，边上总格点数L=6；
图形③：计算得面积S=7平方厘米，内部格点N=5，边上总格点数L=6；
图形④：计算得面积S=9平方厘米，内部格点N=6，边上总格点数L=8；
整理得到统计表如下：
| 图形 | S | N | L |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| ① | 2平方厘米 | 1 | 4 |
| ② | 4平方厘米 | 2 | 6 |
| ③ | 7平方厘米 | 5 | 6 |
| ④ | 9平方厘米 | 6 | 8 |
(2) 对四组数据进行运算验证：
第一组：$N + L÷2 -1 = 1 + 4÷2 -1 = 2$，和S相等；
第二组：$N + L÷2 -1 = 2 + 6÷2 -1 = 4$，和S相等；
第三组：$N + L÷2 -1 = 5 + 6÷2 -1 = 7$，和S相等；
第四组：$N + L÷2 -1 = 6 + 8÷2 -1 = 9$，和S相等；
因此可归纳得到规律：任意格点多边形的面积S等于内部格点数N加上边上格点数L除以2，再减去1。
【答案】
(1) 统计结果如下：
| 图形 | S | N | L |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| ① | 2平方厘米 | 1 | 4 |
| ② | 4平方厘米 | 2 | 6 |
| ③ | 7平方厘米 | 5 | 6 |
| ④ | 9平方厘米 | 6 | 8 |
(2) 任何一个多边形的面积=图形内的格点数+边上的格点数÷2-1，即$S=N+L÷2-1$。
【知识点】
格点多边形计数，皮克定理
【点评】
本题属于规律探究类题目，不需要提前掌握皮克定理，通过自主点数、计算、归纳即可得到结论，能有效锻炼学生的数据分析和归纳推理能力，解题时注意数边上格点不要重复统计公共顶点，避免计数错误。
【难度系数】
0.6

【分析】
我们可以先从熟悉的规则图形入手思考：首先已知相邻两点间距为1厘米，那么边长为1厘米的小正方形面积是1平方厘米，要得到面积12平方厘米的图形，首先可以构造长方形，只要长和宽的乘积等于12即可，很容易选出整数边长的组合，比如长4厘米、宽3厘米，4×3=12，完全符合要求。接下来要构造另一个形状不同的多边形，我们可以借助格点图形的皮克定理来验证面积，也可以通过分割法计算多边形面积，只要最终面积等于12，且和第一个图形形状不同就满足题意。
【解析】
1. 构造第一个图形：长方形
横向取5个点，对应长度为(5-1)×1=4厘米，纵向取4个点，对应宽度为(4-1)×1=3厘米，根据长方形面积公式S=长×宽，可得面积=4×3=12平方厘米，符合要求。
2. 构造第二个图形：六边形
使用格点多边形的皮克定理验证：格点多边形面积公式为S = 内部格点数 + 边界格点数÷2 - 1，该六边形内部格点数为10，边界格点数为6，代入得S=10 + 6÷2 -1 = 12平方厘米，满足面积要求，且和长方形形状完全不同，符合题意。
【答案】

【知识点】
格点图形作图，长方形面积计算，皮克定理
【点评】
本题属于开放型格点作图题，答案不唯一，除了示例的长方形和六边形外，还可以画出底为4厘米高为3厘米的平行四边形、上底2厘米下底6厘米高3厘米的梯形等多种符合要求的图形，既考查了基础的面积计算能力，也锻炼了学生的发散思维。
【难度系数】
0.7