第86页 - 江苏版实验班提优训练数学五年级上下册答案

15和40的最大公因数是5，最小公倍数是120；

32和64的最大公因数是32，最小公倍数是64；

9和8的最大公因数是1，最小公倍数是72。

97.2

0.448

6.4

3.6

偶数

150

225

1581326749

3590

(12.5+10)÷3=7.5(元)

小红：10-7.5=2.5(元)

小伟：12.5-7.5=5(元)

答：小东要给小红2.5元，给小伟5元。

36和30的最大公因数是6。

(36+30)×2÷6=22(棵)

答：至少要栽22棵树。

100÷4-1=24(个)

100÷5-1=19(个)

4和5的最小公倍数是20。

100÷20-1=4(个)

24+19-4+1=40(段)

答：这根绳子被剪成了40段。

【分析】
我们拿到题目后，先分别观察每组两个数的特征，优先判断是否属于特殊关系，再选择对应的方法求解：首先先看两个数是否存在倍数关系，如果是就直接用倍数关系的规律计算；如果不是再判断两个数是否互质，互质的话直接用互质的规律计算；如果两种特殊关系都不满足，就用分解质因数或者短除法，取共同质因数的乘积得到最大公因数，把所有公有质因数和独有质因数相乘得到最小公倍数，这样解题既快又不容易出错。
【解析】
1. 求解15和40的最大公因数与最小公倍数：
先分解质因数：$15 = 3×5$，$40 = 2×2×2×5$
两个数共有的质因数只有5，因此最大公因数是5；
将所有公有质因数和各自独有的质因数相乘：$2×2×2×3×5 = 120$，因此最小公倍数是120。
2. 求解32和64的最大公因数与最小公倍数：
观察可得$64÷32=2$，即64是32的2倍，两数属于倍数关系：
有倍数关系的两个数，最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数，因此最大公因数是32，最小公倍数是64。
3. 求解9和8的最大公因数与最小公倍数：
9和8除了1之外没有其他公共因数，两数互质：
互质的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积，即$9×8=72$。
【答案】
15 和 40 的最大公因数是 5，最小公倍数是 120；32 和 64 的最大公因数是 32，最小公倍数是 64；9 和 8 的最大公因数是 1，最小公倍数是 72。
【知识点】
最大公因数，最小公倍数，特殊数的运算规律
【点评】
本题属于基础概念应用题，覆盖了求解最大公因数、最小公倍数的三类典型场景，引导学生优先观察数的特征，利用倍数、互质的特殊规律简化计算，避免机械套用短除法，能有效巩固对公因数、公倍数概念的理解。
【难度系数】
0.8

【分析】
这道题是小数乘除法的竖式计算与验算题型，解题思路如下：
1. 计算小数乘法时，先忽略小数点，将小数转化为整数，按照整数乘法的计算法则算出乘积，再统计两个因数的小数位数之和，从乘积的右侧向左数出对应位数点上小数点，小数末尾的0可以省略。
2. 计算除数为整数的小数除法时，按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐，如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面补0继续除。
3. 验算规则：乘法用“积÷其中一个因数=另一个因数”验证，除法用“商×除数=被除数”验证，确保计算结果正确。
【解析】
1. 计算$3.6×27$：
先按整数乘法计算$36×27=972$，两个因数共有1位小数，从972右侧向左数1位点小数点，得到结果97.2。
验算：用97.2÷27，得到商为3.6，和原式因数一致，计算正确。
2. 计算$0.016×28$：
先按整数乘法计算$16×28=448$，两个因数共有3位小数，从448右侧向左数3位点小数点，得到结果0.448。
验算：用0.448÷28，得到商为0.016，和原式因数一致，计算正确。
3. 计算$160÷25$：
整数部分160除以25，商6余10，余数后补0变为100，商的小数点对齐被除数个位后，继续除得商4，得到结果6.4。
验算：用6.4×25，得到乘积为160，和原式被除数一致，计算正确。
4. 计算$97.2÷27$：
97除以27商3余16，落下被除数的2得到162，商的小数点对齐被除数的小数点后，162÷27商6，得到结果3.6。
验算：用3.6×27，得到乘积为97.2，和原式被除数一致，计算正确。
【答案】
97.2；0.448；6.4；3.6，验算略
【知识点】
小数乘法竖式；小数除法竖式；乘除法验算
【点评】
本题是小数四则运算的基础核心题型，重点考察学生对小数乘除法竖式运算规则的掌握，易错点是小数点位置点错，通过验算可以有效排查计算失误，熟练掌握该类计算是后续复杂小数运算的重要基础。
【难度系数】
0.8

【分析】
这道题不需要直接计算出算式的最终数值，利用整数奇偶性的运算规律就可以快速判断结果的奇偶性：首先处理加法求和的部分，先逐一判断所有加数的奇偶属性，统计奇数的总个数，根据“偶数个奇数相加和为偶数，奇数个奇数相加和为奇数”的规律直接得到和的奇偶；再处理乘法求积的部分，只需要检查所有乘数中是否存在偶数因数，根据“连乘算式中只要有一个因数是偶数，最终乘积就一定是偶数”的规则，无需计算乘积就能得到结果。
【解析】
1. 判断加法算式的和的奇偶：
算式$1+23+5+7+11+13+37+59$的所有加数均为奇数，总共有8个加数，属于偶数个奇数相加，根据加法奇偶运算性质，偶数个奇数的和是偶数，因此该算式的和为偶数。
2. 判断乘法算式的积的奇偶：
算式$2×13×5×17×9×11$的乘数中包含偶数2，根据乘法奇偶运算性质，若干个整数相乘，只要存在任意一个偶数因数，最终的乘积就是偶数，因此该算式的积为偶数。
【答案】
偶数偶数
【知识点】
奇偶加法运算规律，奇偶乘法运算规律
【点评】
本题是整数奇偶性的基础考察题，刻意避开了复杂的数值计算，引导学生利用运算性质快速推导结果，帮助学生理解奇偶性规律的实用价值，避免无意义的硬算浪费时间。
【难度系数】
0.9

【分析】
我们可以利用两个数的最大公因数和最小公倍数的关联性质来解题：首先已知两个数的最大公因数是75，说明甲、乙都可以表示为75乘某个整数，且这两个整数除了1之外没有其他公因数（也就是互质）。而两个数的最小公倍数等于最大公因数乘这两个互质整数的乘积，所以我们先用最小公倍数450除以最大公因数75，得到这两个互质整数的乘积为6。接下来把6拆成所有符合要求的两个互质正整数的组合，再分别乘回75得到甲乙的所有可能取值，最后计算每组两个数的差，选出差最小的那一组即可。
【解析】
步骤1：计算两个数去掉公因子后，剩余互质部分的乘积
根据最大公因数和最小公倍数的关系，可得：
$450 ÷ 75 = 6$
步骤2：枚举6拆分为两个互质正整数的所有合法组合
6的正整数拆分共有2组符合互质要求：
① $6=1×6$，1和6互质；② $6=2×3$，2和3互质，不存在其他满足互质条件的拆分。
步骤3：计算所有数对的差值，选出差最小的组合
第一组对应数：$75×1=75$，$75×6=450$，两数差为$450-75=375$
第二组对应数：$75×2=150$，$75×3=225$，两数差为$225-150=75$
对比可知75＜375，因此差最小的两个数为150和225。
【答案】150 225
【知识点】最大公因数，最小公倍数，互质数
【点评】本题核心考察最大公因数与最小公倍数的内在关联，通过将原数拆解为最大公因数乘互质因子的形式，避免复杂计算，仅通过枚举合法的互质因子组合即可快速得到所有可能的数对，再比较差值就能得到结果，解题时要注意拆分得到的两个因子必须互质，否则会得到不符合最大公因数条件的错误数对。
【难度系数】0.6

【分析】
我们可以逐个根据题目给出的条件，推导每个符号对应的单个数字：首先回忆“一个数的最大因数是它本身”的性质，就能直接得到○的数值；接着根据质数的定义找到最小的质数得到□；再用分解质因数的方法求出8和12的最大公因数得到△；最后在0-9的一位数范围内，筛选同时满足奇数、合数两个条件的数得到☆，最后把所有符号替换成对应数字，就能得到完整的密码。
【解析】
我们逐个推导每个符号代表的数字：
1. 推导○：任意非零自然数的最大因数是它本身，已知○的最大因数是8，因此○=8；
2. 推导□：质数是指大于1、只有1和它本身两个正因数的数，最小的质数是2，因此□=2；
3. 推导△：对8和12分解质因数：$8=2×2×2$，$12=2×2×3$，二者公有质因数的乘积就是最大公因数，即$2×2=4$，因此△=4；
4. 推导☆：密码的每一位都是单个数字，在1~9的一位数中，既是奇数（不能被2整除）又是合数（除了1和自身还有其他因数）的数只有9，因此☆=9。
将所有符号替换为对应数字，原序列$15〇13□67△☆$就变为1581326749。
【答案】
1581326749
【知识点】
因数的特征；质数与合数；最大公因数计算
【点评】
本题是趣味化的数概念应用题，核心考查对因数、质数、合数、最大公因数等基础数论概念的掌握，解题时注意所有符号都对应单个一位数，就可以快速缩小范围推导结果，避免出现多位数的错解。
【难度系数】
0.7

【分析】
我们可以先梳理两次小数点移动的总效果：先向左移动两位、再向右移动一位，合并操作后就能得到最终的0.359和原肉馅千克数的倍数关系，反向推算出原数的千克数值后，再注意题目要求的单位是克，完成单位换算就能得到最终结果。首先明确左移两位是将数缩小到原数的1/100，右移一位是将数扩大10倍，两次操作合起来相当于原数整体缩小10倍得到0.359，反向乘10就能得到原千克数，再乘1000转换为克即可。
【解析】
步骤1：合并小数点移动的总效果
小数点先向左移动两位，对应原数缩小为原来的$\frac{1}{100}$，再向右移动一位，对应得到的新数扩大10倍，两次操作合并后，整体相当于原数的小数点向左移动1位，也就是原数缩小到自身的$\frac{1}{10}$后得到0.359。
步骤2：计算肉馅的原千克数
原数缩小10倍后是0.359，因此原数为：
$0.359 × 10 = 3.59$（千克）
步骤3：单位换算为克
已知质量单位换算关系为1千克=1000克，因此转换单位得：
$3.59 × 1000 = 3590$（克）
【答案】
3590
【知识点】
小数点移动规律，质量单位换算
【点评】
本题结合中秋节传统文化场景设计题目，设置了两处易错点：一是部分学生无法正确合并两次小数点移动的效果，搞反推算原数的运算方向；二是容易忽略题目最终要求的单位是克，错填3.59或者359，解题时要格外注意单位的统一转换。
【难度系数】
0.6

【分析】
这道题的核心逻辑是三人每人都要承担1瓶墨水的费用，最终三人的实际支出应该相等。解题时首先要先算出3瓶墨水的总花费，也就是小红和小伟合计付的钱数；第二步用总花费除以3，得到单瓶墨水的价格，也就是每个人原本应该支付的钱数；第三步分别用小红、小伟实际付的钱数，减去他们自己本该承担的那1瓶墨水的费用，剩下的部分就是他们帮小东垫付的钱，也就是小东需要还给两人的金额。
【解析】
1. 计算3瓶墨水的总花费
小红付了10元，小伟付了12.5元，总花费为：
$10 + 12.5 = 22.5$（元）
2. 计算每人应付的费用
三人每人1瓶墨水，每人应付的钱数相等，即单瓶墨水的价格为：
$22.5 ÷ 3 = 7.5$（元）
3. 计算小东需还给小红的钱
小红实际付了10元，扣除自己本该承担的7.5元，帮小东垫付的金额为：
$10 - 7.5 = 2.5$（元）
4. 计算小东需还给小伟的钱
小伟实际付了12.5元，扣除自己本该承担的7.5元，帮小东垫付的金额为：
$12.5 - 7.5 = 5$（元）
【答案】
小东要给小红2.5元，给小伟5元
【知识点】
小数四则运算，平均数实际应用
【点评】
本题是贴近日常生活的算账类应用题，解题关键是明确三人每人都需要承担1瓶墨水的成本、最终三人支出相等，能避免直接按两人付款比例分配小东应付金额的误区，有效锻炼学生用数学知识解决生活实际问题的能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
要得到最少的栽树棵数，在鱼池四周总长度固定的前提下，需要相邻两棵树的间距尽可能大。题目要求四个角都栽树、每两棵树间距相等，说明这个最大间距必须同时整除长方形的长和宽，也就是长和宽的最大公因数。同时鱼池四周属于封闭环形路线，封闭场景下栽树的总棵数刚好等于间隔的总数量，算出鱼池总周长后除以最大间距，就能得到最少栽树棵数。
【解析】
1. 求最大间距：要让间距同时整除长36米和宽30米，最大的符合要求的间距就是36和30的最大公因数。
分解质因数可得：36=2×2×3×3，30=2×3×5，二者公共质因数的乘积为2×3=6，即最大间距为6米。
2. 计算鱼池周长：根据长方形周长公式，周长=(长+宽)×2，代入数值得(36+30)×2=132米。
3. 计算栽树棵数：封闭图形植树时，栽树棵数=间隔数，总棵数=总周长÷间距=132÷6=22棵。
【答案】22棵
【知识点】
最大公因数应用，封闭图形植树问题
【点评】
本题是结合最大公因数和植树问题的实际应用题，核心逻辑是先明确“栽树数量最少等价于树间距最大”，结合四角都栽的要求推导出最大间距是长和宽的最大公因数，再利用封闭环形植树“棵数等于间隔数”的规律计算即可，要注意不要误用开放路线的植树公式多算端点的树。
【难度系数】
0.6

【分析】
我们可以按三步清晰思路来解题：
1. 先分别计算两类标记的原始数量：绳子首尾两端不需要做标记，属于两端都不栽的植树问题，标记数=总长度÷间隔长度-1，代入间隔4米、5米就能分别得到红、黄标记的总数。
2. 对标记去重：同时是4和5的倍数的位置，红标记和黄标记会重合，不能重复计数，先求出4和5的最小公倍数，再用同样的两端不栽公式算出重复标记的数量，用两类标记总数减去重复数，就能得到实际不同标记的总个数。
3. 最后推导段数：绳子上剪的段数永远比标记的总个数多1，给总标记数加1就能得到最终的段数。
【解析】
① 计算红标记数量：
两端不做标记，红标记总数为：$100÷4 -1=24$（个）
② 计算黄标记数量：
两端不做标记，黄标记总数为：$100÷5 -1=19$（个）
③ 计算重复标记数量：
4和5的最小公倍数是20，即每隔20米的位置两类标记重合，重复标记总数为：$100÷20 -1=4$（个）
④ 计算实际总标记数：
去重后总标记数 = 红标记数+黄标记数-重复标记数 = $24+19-4=39$（个）
⑤ 计算总段数：
段数比标记数多1，总段数为：$39+1=40$（段）
【答案】
40段
【知识点】
植树问题，最小公倍数，容斥原理
【点评】
本题是植树问题的变形应用题，结合了公倍数计数的考点，有三个常见易错陷阱：计算标记数时忘记两端不标记要减1、没有减去重合的重复标记、混淆标记数和段数的关系忘记加1，解题时逐一核对就能避开错误。
【难度系数】
0.6