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​$ A$​
$2$
$0$
$4$
$-2$
解：​$ (1) $​因为关于​$x$​的一元二次方程
​$x^2-2(m+1)x+\mathrm {m^2}+5=0$​有两个实数根，
所以判别式
​$∆=[-2(m+1)]^2-4×1×(\mathrm {m^2}+5)\ge 0$​，
​$ $​展开得​$4\ \mathrm {m^2}+8m+4-4\ \mathrm {m^2}-20\ge 0$​，
​$ $​即​$8m-16\ge 0$​，
​$ $​解得​$m\ge 2$​。
​$ $​故​$m $​的取值范围为​$m\ge 2$​。
​$ (2) $​当​$m=3$​时，原方程即为​$x^2-8x+14=0$​，
​$ $​由根与系数的关系得​$x_1+x_2=8$​，​$x_1x_2=14$​，
​$ $​所以​$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$​
​$=8^2-2×14=36$​。
​$ $​因为​$x_1，x_2$​恰好是一个直角三角形的两条直角
边长，
所以该直角三角形的斜边长为
​$\sqrt {x_1^2+x_2^2}=\sqrt {36}=6$​。
​$ (3) $​由一元二次方程根与系数的关系，
得​$x_1+x_2=2(m+1)$​，​$x_1x_2=\mathrm {m^2}+5$​。
​$ $​又​$x_1+x_2=\frac {2}{3}x_1x_2$​，
​$ $​所以​$2(m+1)=\frac {2}{3}(\mathrm {m^2}+5)$​，
​$ $​整理得​$\mathrm {m^2}-3m+2=0$​，
​$ $​解得​$m_1=1$​，​$m_2=2$​。
​$ $​因为​$m\ge 2$​，
所以​$m $​的值为​$2$​。
​$ C$​
$1$
解：因为关于​$x$​的一元二次方程​$x^2-6x+2m$​
​$-1=0$​有两个实数根，
​$ $​所以判别式​$∆=(-6)^2-4×1×(2m-1)\ge 0$​，
​$ $​解得​$m\le 5$​。
由一元二次方程根与系数的关系，
得​$x_1+x_2=6$​，​$x_1x_2=2m-1$​。
​$ (1) $​因为​$x_1=1$​，
​$ $​所以​$1+x_2=6$​，​$1· x_2=2m-1$​，
​$ $​解得​$x_2=5$​，​$m=3$​。
​$ (2) $​因为​$(x_1-1)(x_2-1)=\frac {6}{m-5}$​，
​$ $​所以​$x_1x_2-(x_1+x_2)+1=\frac {6}{m-5}$​，
​$ $​代入根与系数的关系得​$2m-1-6+1=\frac {6}{m-5}$​，
​$ $​整理得​$2m-6=\frac {6}{m-5}$​，
​$ $​两边同乘​$m-5$​得​$(2m-6)(m-5)=6$​，
​$ $​展开得​$2\ \mathrm {m^2}-16m+30=6$​，
​$ $​即​$\mathrm {m^2}-8m+12=0$​，
​$ $​解得​$m_1=2$​，​$m_2=6$​。
​$ $​因为​$m\le 5$​且​$m-5\ne 0$​，即​$m＜5$​，
​$ $​所以存在满足题意的实数​$m$​，且​$m $​的值为​$2$​。
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