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解：​$(1) $​设这两个月该工程队工作效率的月平均
增长率为​$x$​。
由题意，得
​$ 12000(1+x)^2=14520$​
​$ $​解得​$x_1=0.1=10\%$​，​$x_2=-2.1($​不合题意，舍去）。
故这两个月该工程队工作效率的月平均增长率
为​$10\%$​。
​$ (2) $​由题意，得
​$ 12000+12000×(1+10\%)+14520+14520$​
​$×(1+10\%)=55692 (\mathrm {m^2})$​
​$ $​因为​$55692＞55000$​，
所以估计到​$10$​月末该工程队能完成该小区共
​$55000\ \mathrm {m^2}$​的道路翻新任务。
解：​$ (1) $​设​$B$​型设备每小时铺设的路面长度为​$x\ \mathrm {m}$​，
则​$A$​型设备每小时铺设的路面长度为​$(2x+30)\ \mathrm {m}$​。
由题意，得
​$ 32[x+(2x+30)]=4800$​
​$ $​解得​$x=40$​，则​$2x+30=110$​。
​$ $​故​$A$​型设备每小时铺设的路面长度为​$110\ \mathrm {m}$​。
​$ (2) $​由题意，得
​$ 40(a+25+32)+(110-3a)(32+a)=4800+1000$​
整理，得​$a^2-18a=0$​，
​$ $​解得​$a_1=18$​，​$a_2=0($​不合题意，舍去）。
​$ $​故​$a$​的值为​$18$​。
解：​$ (1) $​由题意，得​$AP=4t\mathrm {cm}$​，​$CQ=t\mathrm {cm}$​。
​$ $​因为四边形​$ABCD$​是矩形，
所以​$AB=DC=14\ \mathrm {cm}$​，​$BC=AD=6\ \mathrm {cm}$​，
​$ $​所以​$BP=AB-AP=(14-4t)\mathrm {cm}$​，
​$ $​所以​$S_{梯形BCQP}=\frac {1}{2}(CQ+BP)· BC=(42-9t)\mathrm {cm}^2$​。
​$ $​因为​$4t≤14$​，所以​$t≤\frac {7}{2}$​。
​$ $​因为​$S_{矩形ABCD}=DC· AD=84\ \mathrm {cm}^2$​，
​$ $​当​$PQ $​将矩形​$ABCD$​的面积分成​$2：5$​两部分时，
分类讨论如下：
​$ ① $​若​$S_{梯形ADQP}：S_{梯形BCQP}=2：5$​，
则​$S_{梯形BCQP}=\frac {5}{7}S_{矩形ABCD}=60\ \mathrm {cm}^2$​，
​$ $​所以​$42-9t=60$​，
解得​$t=-2$​，不合题意，舍去；
​$ ② $​若​$S_{梯形BCQP}：S_{梯形ADQP}=2：5$​，
则​$S_{梯形BCQP}=\frac {2}{7}S_{矩形ABCD}=24\ \mathrm {cm}^2$​，
​$ $​所以​$42-9t=24$​，
解得​$t=2$​。
综上所述，当​$t $​的值为​$2$​时，​$PQ $​将矩形​$ABCD$​的
面积分成​$2：5$​两部分。
​$ (2) $​过点​$Q_{作}QE⊥ AB$​于点​$E$​，
则​$∠ BEQ=∠ PEQ=90°$​。
​$ $​因为四边形​$ABCD$​是矩形，
所以​$∠ B=∠ C=90°$​，
​$ $​所以四边形​$BCQE$​是矩形，
所以​$QE=BC=6\ \mathrm {cm}$​，​$BE=CQ=t\mathrm {cm}$​。
​$ $​因为​$BP=(14-4t)\mathrm {cm}$​，
所以​$PE=|BP-BE|=|14-5t|\mathrm {cm}$​。
​$ $​因为​$PE^2+QE^2=PQ^2$​，​$PQ=10\ \mathrm {cm}$​，
​$ $​所以​$|14-5t|^2+6^2=10^2$​，
​$ $​解得​$t_1=\frac {6}{5}$​，​$t_2=\frac {22}{5}($​不合题意，舍去）。
​$ $​故当​$t $​的值为​$\frac {6}{5}$​时，​$P，Q $​两点之间的距离为​$10\ \mathrm {cm}$​。
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