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$2\sqrt{3}$
$217°$
$\frac{13}{3}$
解：​$(1) $​直线​$BE$​与​$\odot O$​相切，理由如下：
​$ $​连接​$OD$​。
​$ $​因为​$CD$​是​$\odot O$​的切线，
所以​$OD⊥ CD$​，
即​$∠ ODE=90°$​。
​$ $​因为​$OE// AD$​，
所以​$∠ ODA=∠ DOE$​，
​$∠ OAD=∠ BOE$​。
​$ $​又因为​$OA=OD$​，
所以​$∠ OAD=∠ ODA$​，
因此​$∠ BOE=∠ DOE$​。
​$ $​在​$△ BOE$​和​$△ DOE$​中，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {OB}=OD， \\∠ BOE=∠ DOE， \\OE=OE， \end {cases}$​
​$ $​所以​$△ BOE≌△ DOE$​，
​$ $​所以​$∠ OBE=∠ ODE=90°$​，
即​$OB⊥ BE$​。
​$ $​又因为​$OB$​是​$\odot O$​的半径，
所以直线​$BE$​与​$\odot O$​相切。
​$ (2) $​设​$\odot O$​的半径为​$r$​，
则​$OA=OB=OD=r$​。
​$ $​因为​$CA=2$​，
所以​$OC=OA+CA=r+2$​。
​$ $​在​$Rt△ ODC$​中，​$∠ ODC=90°$​，
由勾股定理得​$OD^2+CD^2=OC^2$​，
​$ $​又​$CD=4$​，
所以​$r^2+4^2=(r+2)^2$​，
​$ $​解得​$r=3$​，
即​$OA=OB=3$​，
因此​$BC=OA+OB+CA=8$​。
​$ $​因为​$ED$​，​$EB$​分别与​$\odot O$​相切于点​$D$​，​$B$​，
所以​$DE=BE$​。
​$ $​设​$DE=BE=x$​，
则​$CE=DE+CD=x+4$​。
​$ $​在​$Rt△ CBE$​中，​$∠ CBE=90°$​，
由勾股定理得​$BE^2+BC^2=CE^2$​，
​$ $​即​$x^2+8^2=(x+4)^2$​，
​$ $​解得​$x=6$​，即​$DE$​的长为​$6$​。
$\sqrt{2}$
解：​$ (1) $​证明：因为​$∠ ACB=90°$​，
所以​$AC⊥ BC$​。
​$ $​又​$OC$​为​$\odot O$​的半径，
所以​$BC$​是​$\odot O$​的切线。
​$ $​因为​$\odot O$​与边​$AB$​相切于点​$P$​，
所以​$BC=BP$​，
​$ $​所以​$∠ BCP=∠ BPC$​，
​$ $​因此​$∠ B=180°-∠ BCP-∠ BPC$​
​$=180°-2∠ BCP=2(90°-∠ BCP)$​。
​$ $​又因为​$∠ ACP=∠ ACB-∠ BCP$​
​$=90°-∠ BCP$​，
​$ $​所以​$∠ B=2∠ ACP$​。
​$ (2) $​当点​$O$​在​$BC$​上时，连接​$OA$​，​$OP$​。
​$ $​因为​$∠ ACB=90°$​，​$AC=8$​，​$BC=6$​，
​$ $​所以​$AC⊥ BC$​，​$AB=\sqrt {AC^2+BC^2}=10$​。
​$ $​因为​$OC$​为​$\odot O$​的半径，
所以​$AC$​为​$\odot O$​的切线。
​$ $​又​$\odot O$​与边​$AB$​相切于点​$P$​，
所以​$OP⊥ AB$​，​$AP=AC=8$​，
​$ $​因此​$∠ OPB=90°$​，​$BP=AB-AP=2$​。
​$ $​设​$OC=OP=x$​，则​$OB=BC-OC=6-x$​。
​$ $​在​$Rt△ OPB$​中，
由勾股定理得​$OP^2+BP^2=OB^2$​，
​$ $​即​$x^2+2^2=(6-x)^2$​，
解得​$x=\frac {8}{3}$​，
即​$OC=\frac {8}{3}$​。
​$ $​所以​$OA=\sqrt {OC^2+AC^2}=\frac {8\sqrt {10}}{3}$​。
​$ $​因为​$AC=AP$​，​$OC=OP$​，
所以​$OA$​垂直平分​$CP$​，
​$ $​因此​$S_{四边形ACOP}=\frac {1}{2}AC· OC+\frac {1}{2}AP· OP$​
​$=\frac {1}{2}OA· CP$​，
​$ $​代入数值解得​$CP=\frac {2AC· OC}{OA}=\frac {8\sqrt {10}}{5}$​。
​$ $​当点​$O$​在​$AC$​上时，同理可得​$CP=\frac {12\sqrt {5}}{5}$​。
​$ $​当点​$P $​与点​$A$​重合时，​$CP_{最长}$​，此时​$CP=8$​。
​$ $​因为点​$O$​在​$△ ABC$​的外部，且​$\frac {8\sqrt {10}}{5}＜\frac {12\sqrt {5}}{5}＜6$​，
​$ $​所以​$CP $​长的取值范围为​$\frac {8\sqrt {10}}{5}＜CP≤8$​。
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