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5和7，11和13，17和19，29和31
奇数
偶数
15
5
2
B
C
D
B
C
B
B
【分析】
首先明确“孪生质数”的定义：相差为2的两个质数。第(1)问需先找出40以内的所有质数，再从中筛选出差为2的质数对，排除3和5即可；第(2)问根据孪生质数的关系（b=a+2），结合质数的奇偶性（除2外质数均为奇数），利用奇数、偶数的运算性质判断结果。
【解析】
(1) 先找出40以内的所有质数，再根据“孪生质数”是相差为2的两个质数，筛选出符合条件的质数对，排除3和5后，得到5和7、11和13、17和19、29和31。
(2) 因为a和b是孪生质数且a＜b，所以b=a+2。质数中除2外均为奇数，若a=2，则b=4（不是质数），故a是奇数，b=a+2也为奇数。奇数+2=奇数，因此b+2是奇数；任何数乘2均为偶数，所以2a是偶数。
【答案】
(1)5和7,11和13,17和19,29和31；(2)奇数 偶数
【知识点】
质数的认识、奇数与偶数的性质
【点评】
本题结合数学文化中的孪生质数猜想，考查质数概念及奇偶性运算性质，解题关键是明确孪生质数的定义，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
【分析】
这道题围绕1~30中数的倍数特征展开，核心是利用倍数、公倍数的知识解决实际计数问题。第（1）问直接计算2的倍数数量，每2个数里有1个2的倍数，用总数除以2即可；第（2）问需在余下的奇数中找3的倍数，要减去既是2又是3的倍数（6的倍数）的重复部分；第（3）问要在两批同学离开后剩余的数中找5的倍数，需减去之前已排除的2和5的倍数（10的倍数）、3和5的倍数（15的倍数），还要加回重复多减的30，避免计数错误。
【解析】
（1）1~30中，2的倍数的数量为：30÷2=15（个），因此参加跳绳训练的有15人；
（2）1~30中，3的倍数共有30÷3=10个，其中既是2的倍数又是3的倍数（即6的倍数）的数量为30÷6=5个，所以余下的奇数中3的倍数数量为10-5=5个，即去跑步的有5人；
（3）1~30中，5的倍数共有30÷5=6个，其中既是2的倍数又是5的倍数（10的倍数）有30÷10=3个，既是3的倍数又是5的倍数（15的倍数）有30÷15=2个，30是2、3、5的公倍数，被重复减去了1次，因此余下的数中5的倍数数量为6-3-2+1=2个，即去器材室拿篮球的有2人。
【答案】(1)15 (2)5 (3)2
【知识点】倍数的认识、公倍数的应用
【点评】本题结合实际场景考查倍数与公倍数的计算，重点是处理重复计数的部分，避免多算，需要学生理清各倍数间的关系，逻辑要求清晰，属于基础应用类题目。
【难度系数】0.5
【分析】要解决这个问题，需明确题目要求：该数既是40的因数，又是5的倍数。解题思路是先列举出40的所有因数，再从这些因数中筛选出5的倍数，最后统计符合条件的数的个数即可。
【解析】1. 列举40的因数：40的因数有1、2、4、5、8、10、20、40；2. 筛选5的倍数：根据5的倍数特征（个位是0或5），从上述因数中找出符合条件的数为5、10、20、40；3. 统计个数：符合条件的数共4个，因此答案选B。
【答案】B
【知识点】因数、倍数
【点评】本题考查因数与倍数的基本概念，解题时需准确列举因数并结合倍数特征筛选，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
【分析】
要判断哪种礼盒无法正好装完90块月饼，本质是判断90能否被该礼盒每盒的月饼数整除，即该数是否为90的因数。只需依次计算90除以每个选项的每盒块数，若结果为整数则能正好装完，否则不能，据此选出答案。
【解析】
分别计算90除以各选项每盒的月饼数：
A选项：90÷2=45，结果为整数，可正好装完；
B选项：90÷3=30，结果为整数，可正好装完；
C选项：90÷4=22.5，结果不是整数，无法正好装完；
D选项：90÷5=18，结果为整数，可正好装完；
因此无法正好装完的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
因数与倍数、整除应用
【点评】
本题结合生活实际考查因数与倍数的基础应用，解题关键是掌握整除的判断方法，思路清晰，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】
0.7
【分析】
要判断一个数是否为“完全数”，需根据定义：先找出该数的所有因数，再计算除它本身外的因数之和，若和等于这个数，则它是完全数。解题时需依次找出每个选项的因数，再计算对应和进行判断。
【解析】
根据完全数的定义，逐一分析选项：
选项A：14的因数有1、2、7、14，除14外的因数和为1+2+7=10，10≠14，不是完全数；
选项B：15的因数有1、3、5、15，除15外的因数和为1+3+5=9，9≠15，不是完全数；
选项C：27的因数有1、3、9、27，除27外的因数和为1+3+9=13，13≠27，不是完全数；
选项D：28的因数有1、2、4、7、14、28，除28外的因数和为1+2+4+7+14=28，符合完全数定义，是完全数。
【答案】
D
【知识点】
完全数的认识，因数的概念
【点评】
本题结合数学文化考查完全数的判断，核心是掌握找一个数的因数的方法，通过计算因数和即可完成判断，属于基础概念题，需细心计算避免出错。
【难度系数】
0.6
【分析】要解决该问题，需先转化题意：“4块4块地拿少2块”说明总数加2后是4的倍数；“5块5块地拿多3块”可转化为总数加2后是5的倍数（多3块等价于少2块就能再拿一次）；“6块6块地拿少2块”说明总数加2后是6的倍数。因此，总数加2就是4、5、6的公倍数，结合总数少于100块的条件，找到符合的公倍数后减2即可得到山楂糕总数。
【解析】根据题意，给山楂糕总数加2块后，该数量是4、5、6的公倍数。先求4、5、6的最小公倍数：分解质因数得4=2²，5=5，6=2×3，最小公倍数为2²×3×5=60。因总数少于100块，符合条件的公倍数为60，故山楂糕总数为60-2=58块，对应选项B。
【答案】B
【知识点】公倍数、最小公倍数的应用
【点评】本题考查公倍数在实际问题中的应用，核心是将“少2块”“多3块”转化为“加2块后是公倍数”的条件，需学生灵活转化题意，难度适中。
【难度系数】0.5
【分析】
要解决这个问题，需先明确硬纸板长度的特征：两种摆法都能正好从硬纸板一端摆到另一端，说明硬纸板的长度既能被卡片的长（6厘米）整除，也能被卡片的宽（4厘米）整除，即硬纸板的长度是6和4的公倍数。接下来只需判断选项中哪个数是6和4的公倍数即可。
【解析】
先求6和4的最小公倍数：分解质因数，6=2×3，4=2×2，因此最小公倍数为2×2×3=12，6和4的公倍数有12、24、36、48、60、72……。再逐一分析选项：
A选项30：30÷4=7.5，不能被4整除，不是6和4的公倍数；
B选项45：45÷6=7.5，不能被6整除，不是6和4的公倍数；
C选项60：60÷6=10，60÷4=15，均能整除，是6和4的公倍数；
D选项75：75÷6=12.5，不能被6整除，不是6和4的公倍数。
因此答案为C。
【答案】
C
【知识点】
公倍数、因数与倍数
【点评】
本题结合操作探究场景考查公倍数的实际应用，核心是理解硬纸板长度需同时满足是6和4的倍数，属于基础应用类题目，难度不大。
【难度系数】
0.5
【分析】要解决这个问题，首先明确题目要求：把24个豆沙粽和18个蜜枣粽分别装盒，每盒个数相等且每盒最多，这本质是求24和18的最大公因数（最大公因数是能同时整除两个数的最大正整数，满足每盒个数相等且最多）。接下来通过列举法找出两个数的所有因数，再确定它们的最大公因数即可。
【解析】要使每盒个数相等且最多，需计算24和18的最大公因数，步骤如下：
1. 列举24的所有因数：1、2、3、4、6、8、12、24；
2. 列举18的所有因数：1、2、3、6、9、18；
3. 找出24和18的公因数：1、2、3、6；
4. 其中最大的公因数是6，即每盒最多放6个。
【答案】B
【知识点】最大公因数、因数的应用
【点评】本题结合端午装粽子的生活场景，考查最大公因数的实际应用，属于基础应用题，只要掌握求最大公因数的方法就能轻松解答。
【难度系数】0.8
【分析】首先根据长方形周长公式求出长与宽的和，再找出和为该数值的所有质数对，接着计算每对质数对应的长方形面积，最后比较面积大小得出最小值。
【解析】1. 长方形周长公式为：周长=2×(长+宽)，已知周长是36分米，因此长+宽=36÷2=18分米；2. 质数是指大于1的自然数中，除了1和自身外无其他因数的数，找出和为18的质数对：(5,13)、(7,11)；3. 计算各质数对对应的面积：5×13=65平方分米，7×11=77平方分米；4. 比较面积大小，65＜77，故面积最小为65平方分米，对应选项B。
【答案】B
【知识点】长方形周长计算、质数的概念、长方形面积计算
【点评】本题结合长方形周长与面积公式，考查质数的判断，解题关键是先求长和宽的和，再筛选符合条件的质数对，通过计算面积比较得出结果，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.5
【分析】首先明确梅森素数的定义：形如“$2^p -1$”的素数，且$p$也为素数。解题时需逐一验证每个选项是否满足两个条件：①该数是素数；②能表示为$2^p -1$（$p$为素数），通过排除不符合的选项得到答案。
【解析】根据梅森素数的定义，对各选项分析如下：
1. 选项A：1既不是素数也不是合数，不满足梅森素数的要求，排除；
2. 选项B：$7=2^3 -1$，其中$p=3$是素数，且7是素数，符合梅森素数的定义，当选；
3. 选项C：15是合数（除1和自身外还有其他因数），不满足素数的要求，排除；
4. 选项D：17无法写成“$2^p -1$”的形式（$17+1=18$，不是2的整数次幂），不符合要求，排除。
【答案】B
【知识点】素数的概念、梅森素数的定义
【点评】本题考查对梅森素数定义的理解，解题关键是牢记梅森素数的两个核心条件，通过逐一验证选项即可得出答案，属于基础概念题。
【难度系数】0.6
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