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B
B
12=2×2×3
24=2×2×2×3
36=2×2×3×3
70=2×5×7
32=2×2×2×2×2
16=2×2×2×2
最大公因数：2×2×2×2=16
最小公倍数：2×2×2×2×2=32
12=2×2×3
18=2×3×3
最大公因数：2×3=6
最小公倍数：2×2×3×3=36
13和7都是质数
最大公因数：1
最小公倍数：7×13=91
53-3=50(颗)
49-4=45(块)
50和45的最大公因数是5。
答：这个组最多有5名同学。
40和24的最大公因数是8
  (40÷8)×(24÷8)
=5×3
=15(张)
答：正方形卡片的边长最长是8厘米，能裁剪成15张这样的
正方形卡片。
【分析】首先明确梅森素数的定义：形如“$2^p -1$”的素数，且$p$也为素数。解题时需逐一验证每个选项是否满足两个条件：①该数是素数；②能表示为$2^p -1$（$p$为素数），通过排除不符合的选项得到答案。
【解析】根据梅森素数的定义，对各选项分析如下：
1. 选项A：1既不是素数也不是合数，不满足梅森素数的要求，排除；
2. 选项B：$7=2^3 -1$，其中$p=3$是素数，且7是素数，符合梅森素数的定义，当选；
3. 选项C：15是合数（除1和自身外还有其他因数），不满足素数的要求，排除；
4. 选项D：17无法写成“$2^p -1$”的形式（$17+1=18$，不是2的整数次幂），不符合要求，排除。
【答案】B
【知识点】素数的概念、梅森素数的定义
【点评】本题考查对梅森素数定义的理解，解题关键是牢记梅森素数的两个核心条件，通过逐一验证选项即可得出答案，属于基础概念题。
【难度系数】0.6
【分析】要判断每个说法是否正确，需先明确偶数、最大公因数、公倍数、因数、质数、合数的定义，再逐个验证5个说法：①相邻非零偶数的最大公因数；②非零自然数乘积与公倍数的关系；③51的因数是否都是质数；④大于1的奇数是否都是质数；⑤两个不同质数乘积的类型，最后统计正确说法的数量。
【解析】逐个分析：
1. 说法①：相邻两个非零偶数可表示为2n和2(n+1)（n为正整数），它们的公因数有1、2，最大公因数是2，正确。
2. 说法②：根据公倍数定义，两个非零自然数a、b的乘积ab，既是a的倍数也是b的倍数，所以ab是a和b的公倍数，正确。
3. 说法③：51的因数有1、3、17、51，其中1既不是质数也不是合数，51是3×17的积，属于合数，因此51的因数不都是质数，错误。
4. 说法④：大于1的奇数中，如9，因数有1、3、9，9是合数，并非都是质数，错误。
5. 说法⑤：两个不同质数的乘积，除了1和它本身，还有这两个质数作为因数，符合合数定义，正确。
综上，正确的说法有①②⑤，共3个，对应选项B。
【答案】B
【知识点】质数与合数、因数与倍数、最大公因数
【点评】本题考查数论基础概念，需准确掌握质数、合数、公倍数等定义，尤其注意特殊数（如1、9、51）的性质，避免概念混淆，逐个判断即可得出结果。
【难度系数】0.6
【分析】
分解质因数的核心是将合数转化为若干个质数相乘的形式，解题思路是：从最小的质数（2、3、5、7……）开始，依次用质数去除待分解的合数，直到最终的商为质数为止，最后把所有的除数和最后的商相乘，得到该合数的质因数分解式。
【解析】
分解质因数的定义是把合数用质数相乘的形式表示，具体过程如下：
1. 分解12：用最小质数2除12得6，再用2除6得3（3是质数），所以$12=2×2×3$；
2. 分解24：用2除24得12，再用2除12得6，再用2除6得3（3是质数），所以$24=2×2×2×3$；
3. 分解36：用2除36得18，再用2除18得9，再用3除9得3（3是质数），所以$36=2×2×3×3$；
4. 分解70：用2除70得35，再用5除35得7（7是质数），所以$70=2×5×7$。
【答案】
$12=2×2×3$ $24=2×2×2×3$ $36=2×2×3×3$ $70=2×5×7$
【知识点】
分解质因数、质数与合数
【点评】
本题是数论基础题型，考察分解质因数的基本方法，要求学生掌握从最小质数试除的分解逻辑，属于必须熟练掌握的基础知识点，难度较低。
【难度系数】
0.8
【分析】
求两个数的最大公因数和最小公倍数，需根据两数的关系选择对应方法：①若两数为倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；②若为一般关系，用分解质因数法，最大公因数是公有质因数的乘积，最小公倍数是公有质因数乘各自独有的质因数；③若为互质关系，最大公因数是1，最小公倍数是两数乘积。本题中，32和16是倍数关系，12和18是一般关系，13和7是互质关系，分别按对应方法计算即可。
【解析】
1. 32和16：因为32÷16=2，即32是16的倍数，属于倍数关系，所以最大公因数是较小数16，最小公倍数是较大数32；
2. 12和18：先分解质因数，12=2×2×3，18=2×3×3，公有质因数为2和3，因此最大公因数是2×3=6；最小公倍数是公有质因数乘各自独有的质因数，即2×3×2×3=36；
3. 13和7：13和7都是质数，只有公因数1，属于互质关系，所以最大公因数是1，最小公倍数是13×7=91。
【答案】
32和16的最大公因数是16，最小公倍数是32；12和18的最大公因数是6，最小公倍数是36；13和7的最大公因数是1，最小公倍数是91。
【知识点】
最大公因数、最小公倍数
【点评】
本题考查求两个数的最大公因数与最小公倍数的方法，涵盖倍数关系、一般关系、互质关系三种常见情况，是数论的基础知识点，需熟练掌握不同关系对应的计算规律，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】
0.8
【分析】要解决这个问题，首先需算出实际分掉的水果糖和巧克力的数量：水果糖剩3颗，说明分掉的水果糖是总数量减去剩余的；巧克力剩4块，分掉的巧克力是总数量减去剩余的。由于要将这两种分掉的糖平均分给组内同学且无剩余，求最多的同学数，本质是求分掉的两个数的最大公因数，因为最大公因数是能同时整除这两个数的最大正整数，即为所求的最多同学人数。
【解析】
1. 计算分掉的水果糖数量：$53 - 3 = 50$（颗）
2. 计算分掉的巧克力数量：$49 - 4 = 45$（块）
3. 求50和45的最大公因数：
分解质因数：$50 = 2×5×5$，$45 = 3×3×5$，两者公有的质因数为5，因此最大公因数是5。
4. 结论：这个组最多有5名同学。
【答案】5名
【知识点】最大公因数的应用、整数减法
【点评】本题是最大公因数在实际分配场景中的典型应用，需要先结合剩余数量算出实际分配的物品数量，再通过求最大公因数得到最多的分组人数，考查学生对最大公因数概念的理解与实际运用能力。
【难度系数】0.5
【分析】
本题是最大公因数和最小公倍数的实际应用，分两小问：第(1)问是裁剪正方形无剩余，要使正方形边长最长，需找到长方形长和宽的最大公因数（正方形边长需同时整除长和宽，最大的边长就是两者的最大公因数）；再分别用长、宽除以边长，得到长、宽方向能裁剪的正方形个数，两者相乘即为总张数。第(2)问是用长方形拼大正方形，要使用的卡纸最少，大正方形的边长需是长和宽的最小公倍数（这样拼接无剩余，卡纸数量最少）；再用大正方形边长分别除以长方形的长和宽，得到长、宽方向需要的卡纸数，相乘即为最少张数。
【解析】
(1) 求40和24的最大公因数：
分解质因数：$40 = 2×2×2×5$，$24 = 2×2×2×3$，
最大公因数为公有质因数的乘积：$2×2×2 = 8$（厘米），即正方形卡片的边长最长是8厘米。
能裁剪的正方形张数：$(40÷8)×(24÷8) = 5×3 = 15$（张）。
(2) 求40和24的最小公倍数：
最小公倍数为公有质因数乘独有质因数：$2×2×2×3×5 = 120$（厘米），即大正方形的边长为120厘米。
需要的长方形卡纸张数：$(120÷40)×(120÷24) = 3×5 = 15$（张）。
【答案】
(1) 正方形卡片的边长最长是8厘米，能裁剪成15张这样的正方形卡片；
(2) 至少需要15张这样的长方形卡纸。
【知识点】
最大公因数的应用，最小公倍数的应用
【点评】
本题是最大公因数和最小公倍数在实际生活中的典型应用题，核心是区分两种场景的知识点应用：“裁剪无剩余求最大边长”对应最大公因数，“拼正方形求最少张数”对应最小公倍数，需准确判断应用的知识点，避免混淆，属于小学数论部分的基础题型。
【难度系数】
0.5
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