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40和24的最小公倍数是120。
  (120÷40)×(120÷24)
=3×5
=15(张)
答：至少需要15张这样的长方形卡纸。
6和9的最小公倍数是18。
  (90÷18+1)×2
=6×2
=12(面)
答：不需要重新插的彩旗有12面。
150和60的最大公因数是30。
  (150+60)÷30+1
=210÷30+1
=8(名)
答：这段赛道至少要安排8名志愿者。
168=1×168=2×84=3×56=4×42=6×28=7×24=8×21=…，
只有8棵和21人符合题意，因此每人植树8棵。
答：他们每人植树8棵。
70+73+143-18=268(件)
268的因数有1，2，4，67，134，268。
70÷67=1(双)…3(双)
73÷67=1(条)……6(条)
143÷67=2(支)……9(支)
3+6+9=18(件)，满足条件
答：一共有67位老人。
【分析】
本题是最大公因数和最小公倍数的实际应用，分两小问：第(1)问是裁剪正方形无剩余，要使正方形边长最长，需找到长方形长和宽的最大公因数（正方形边长需同时整除长和宽，最大的边长就是两者的最大公因数）；再分别用长、宽除以边长，得到长、宽方向能裁剪的正方形个数，两者相乘即为总张数。第(2)问是用长方形拼大正方形，要使用的卡纸最少，大正方形的边长需是长和宽的最小公倍数（这样拼接无剩余，卡纸数量最少）；再用大正方形边长分别除以长方形的长和宽，得到长、宽方向需要的卡纸数，相乘即为最少张数。
【解析】
(1) 求40和24的最大公因数：
分解质因数：$40 = 2×2×2×5$，$24 = 2×2×2×3$，
最大公因数为公有质因数的乘积：$2×2×2 = 8$（厘米），即正方形卡片的边长最长是8厘米。
能裁剪的正方形张数：$(40÷8)×(24÷8) = 5×3 = 15$（张）。
(2) 求40和24的最小公倍数：
最小公倍数为公有质因数乘独有质因数：$2×2×2×3×5 = 120$（厘米），即大正方形的边长为120厘米。
需要的长方形卡纸张数：$(120÷40)×(120÷24) = 3×5 = 15$（张）。
【答案】
(1) 正方形卡片的边长最长是8厘米，能裁剪成15张这样的正方形卡片；
(2) 至少需要15张这样的长方形卡纸。
【知识点】
最大公因数的应用，最小公倍数的应用
【点评】
本题是最大公因数和最小公倍数在实际生活中的典型应用题，核心是区分两种场景的知识点应用：“裁剪无剩余求最大边长”对应最大公因数，“拼正方形求最少张数”对应最小公倍数，需准确判断应用的知识点，避免混淆，属于小学数论部分的基础题型。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决这个问题，首先明确：不需要重新插的彩旗位置是原来间隔6米和现在间隔9米的公共位置，也就是6和9的公倍数所在处。接下来需先算出6和9的最小公倍数，再结合道路长度算出一侧不需要重插的彩旗数，最后因是道路两侧，需再乘2；同时要注意两端都插彩旗，计算时要加1（间隔数加1才是彩旗数）。
【解析】
1. 求6和9的最小公倍数：分解质因数，6=2×3，9=3×3，因此最小公倍数为2×3×3=18，即相邻不需要重插的彩旗间隔18米。
2. 计算道路一侧不需要重插的彩旗数：道路长90米，间隔数为90÷18=5个；因两端都插彩旗，彩旗数=间隔数+1，即5+1=6面。
3. 计算道路两侧不需要重插的彩旗总数：6×2=12面。
【答案】
12面
【知识点】
最小公倍数应用、植树问题（两端都栽）
【点评】
本题是最小公倍数在植树问题中的典型实际应用，核心是找到不动彩旗的位置为两种间隔的公倍数位置，需注意“两端都插”的条件和“道路两侧”的隐含要求，避免遗漏计算或出错。
【难度系数】
0.6
【分析】要使志愿者数量最少，相邻志愿者的距离需尽可能大，且A、B、C三处必须安排志愿者，因此这个最大间距是150米和60米的最大公因数。先求出最大间距，再结合赛道总长度，根据“两端都有志愿者”的情况计算总人数。
【解析】1. 求150和60的最大公因数：分解质因数，150=2×3×5×5，60=2×2×3×5，所以最大公因数为2×3×5=30，即相邻志愿者的最大间距是30米。2. 计算赛道总长度：AB段长150米，BC段长60米，总长度为150+60=210米。3. 计算志愿者人数：因为A、C是赛道两端，都要安排志愿者，属于“两端都栽”的情况，人数=总长度÷间距 +1，代入得210÷30 +1=7+1=8名。
【答案】8名
【知识点】最大公因数、植树问题
【点评】本题结合最大公因数和植树问题的知识点，关键是理解“最少人数对应最大间距”，通过最大公因数确定间距，再利用两端都栽的植树公式计算人数，是典型的综合应用题，需掌握知识点的结合运用。
【难度系数】0.5
【分析】
首先明确题目关键条件：总植树168棵，每人植树棵数不满10棵（即小于10）；学生人数可平均分成4组，加上1位老师后，总人数为“4的倍数多1”。设每人植树x棵，总人数为y人，则x×y=168，需同时满足x＜10，且y=4k+1（k为正整数，代表学生组数）。解题思路是先找出168的所有正整数因数对，再根据两个限制条件筛选出符合要求的因数对，即可得到每人植树的棵数。
【解析】
设每人植树x棵，总人数为y人，根据题意可得：
1. 总植树棵数关系：$x × y = 168$；
2. 每人植树棵数限制：$x ＜ 10$（x为正整数）；
3. 总人数特征：学生人数是4的倍数，加上1位老师后，总人数$y = 4k + 1$（k为正整数）。
分解168的所有正整数因数对（两因数相乘为168）：
$168=1×168=2×84=3×56=4×42=6×28=7×24=8×21=12×14……$
结合条件筛选：
若$x=1$，则$y=168$，168是4的倍数，不符合$y=4k+1$，排除；
若$x=2$，则$y=84$，84是4的倍数，排除；
若$x=3$，则$y=56$，56是4的倍数，排除；
若$x=4$，则$y=42$，$42=4×10+2$，不符合$y=4k+1$，排除；
若$x=6$，则$y=28$，28是4的倍数，排除；
若$x=7$，则$y=24$，24是4的倍数，排除；
若$x=8$，则$y=21$，$21=4×5+1$，符合所有条件，且$x=8＜10$；
若$x≥12$，不满足“每人植树不满10棵”，排除。
因此，每人植树8棵。
【答案】
8棵
【知识点】
因数与倍数、整除应用
【点评】
本题是结合实际情境的因数应用问题，核心是通过分解因数并结合人数、植树棵数的限制条件筛选结果，既考查因数分解能力，也锻炼逻辑推理与条件筛选思维，需准确提取关键信息并灵活运用因数性质解题。
【难度系数】
0.5
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