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$n^2$
$3n+1$
3,4,5的最小公倍数是60。
60-1=59(个)
答：这些鸡蛋至少有59个。
【分析】
先观察表格中各横行数字的变化规律：第一横行是连续自然数，第n个数为n；第二横行的数是对应第一横行数的2倍；第三横行的数比对应第二横行的数少1，据此可推导用字母n表示的式子。
【解析】
1. 分析第一横行：数字依次为1,2,3,4,5,…，第n个数为n；
2. 分析第二横行：数字依次为2,4,6,8,10,…，每个数都是对应第一横行数的2倍，因此第n个数为2×n=2n；
3. 分析第三横行：数字依次为1,3,5,7,9,…，每个数比对应第二横行的数少1，因此第n个数为2n -1。
【答案】
2n；2n－1
【知识点】
数字规律、用字母表示数
【点评】
本题为基础的数字规律探究题，通过观察横行数字间的倍数、差值关系，用字母表示规律，能帮助巩固代数式的应用，难度较低。
【难度系数】
0.3
【分析】
解题时，先分别观察表格中第二行、第三行的数与第一行对应数的关系，归纳排列规律，再用含字母n的式子表示。先看第二行：第1个数是1=1²，第2个是4=2²，第3个是9=3²，第4个是16=4²，第5个是25=5²，可发现第二行的数是第一行对应数的平方；再看第三行：第1个数4=3×1+1，第2个7=3×2+1，第3个10=3×3+1，第4个13=3×4+1，第5个16=3×5+1，可发现第三行的数是第一行对应数的3倍加1。
【解析】
1. 第二行的数：对应第一行第k个数，第二行第k个数为k²，当k=n时，式子为n²；
2. 第三行的数：对应第一行第k个数，第三行第k个数为3k+1，当k=n时，式子为3n+1。
【答案】
$n^2$；$3n+1$
【知识点】
数列规律、代数式表示
【点评】
本题是基础的数列规律探究题，通过观察数与数的对应关系总结表达式，锻炼学生的归纳推理能力，是代数入门阶段的常见题型。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决这个问题，需先找到满足“三三数剩二”和“七七数剩二”的数，因这两个条件余数相同，说明该数减余数后是3和7的公倍数；再从这些数中筛选出满足“五五数剩三”的最小数，最后推导所有符合条件的数的规律。
【解析】
1. 找满足前两个条件的数：“三三数剩二”和“七七数剩二”，说明该数减2后是3和7的公倍数。3和7互质，最小公倍数为 $3×7=21$，因此满足前两个条件的最小数是 $21+2=23$，后续可能的数为 $21k+2$（$k$ 为正整数）。
2. 验证第三个条件：将23除以5，得 $23÷5=4······3$，正好满足“五五数剩三”，故最小符合条件的数是23。
3. 推导所有符合条件的数：3、5、7的最小公倍数为 $3×5×7=105$，因此所有符合条件的数为23加105的倍数，即 $23+105n$（$n$ 为非负整数）。
【答案】
这些物品最少有23个，所有符合条件的物品数量为23加3、5、7的公倍数105的倍数。
【知识点】
公倍数与最小公倍数、余数问题
【点评】
本题是中国古代数学经典的“物不知数”问题，解题关键是利用同余条件缩小范围，再通过验证确定最小解，进而推广到所有解，体现了从特殊到一般的数学思想，是小学数论应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
【分析】
要解决“这堆物品至少有多少个”的问题，需逐步满足三个计数条件：①三个三个地数剩2个；②七个七个地数剩2个；③五个五个地数剩3个。首先处理前两个同余条件：该数除以3和7都余2，说明这个数减2后是3和7的公倍数，结合3和7是互质数的特点，先求出它们的最小公倍数，得到候选数后，再验证是否满足第三个条件，最终找到最小的符合要求的数。
【解析】
1. 求满足“除以3余2、除以7余2”的数：
因为3和7是互质数，互质数的最小公倍数为两数乘积，即 $3×7=21$，因此满足前两个条件的数为 $21+2=23$。
2. 验证是否满足“五个五个地数剩3个”：
计算 $23÷5=4······3$，余数为3，恰好符合第三个条件。
综上，这堆物品至少有23个。
【答案】
23个
【知识点】
最小公倍数的应用、有余数的除法
【点评】
本题结合实际计数场景考查最小公倍数的应用，解题时需先分析同余关系锁定候选数，再验证剩余条件，步骤清晰，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.5
【分析】
第2题：观察鸡蛋数的余数特征，3个3个剩2、4个4个剩3、5个5个剩4，说明鸡蛋数加1后能被3、4、5整除，即鸡蛋数是3、4、5的公倍数减1，要求最少的鸡蛋数，需先求3、4、5的最小公倍数，再减1。
第3题：求三个女儿同时回家的最少天数，本质是求5、4、3的最小公倍数，因为这个天数是每个周期的倍数，此时三人会同时回家。
【解析】
第2题：因为3、4、5两两互质，所以它们的最小公倍数为3×4×5=60。鸡蛋数比最小公倍数少1，因此60-1=59（个）。
第3题：因为3、4、5两两互质，所以它们的最小公倍数为3×4×5=60，即至少过60天三个女儿可以同时回家。
【答案】
2. 59个；3. 60天
【知识点】
最小公倍数的应用
【点评】
这两道题是最小公倍数在实际问题中的典型应用，需要学生将生活中的余数、周期问题转化为求最小公倍数的数学问题，理解题意是解题核心，难度适中，适合小学阶段学生练习。
【难度系数】
0.7
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