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6
12
18
$6n$
12138
$2n+1$
(43-1)÷2=21(个)
答：可以像这样摆21个三角形。
1+4n
1+3+3×3+3×3×3+3×3×3×3+3×3×3×3×3=364(个)
答：图6中挖去364个三角形。
【分析】
首先观察图形的摆放规律，摆1层、2层、3层的图形可通过平移不规则边转化为规则大长方形来计算周长。先分别计算前3层的周长，再归纳出摆n层的周长公式，最后代入n=2023求出结果。
【解析】
(1) 摆1层时，图形是长2厘米、宽1厘米的长方形，周长：$(2+1)×2=6$（厘米）；
摆2层时，平移图形的边后得到长为$2×2=4$厘米、宽为2厘米的大长方形，周长：$(4+2)×2=12$（厘米）；
摆3层时，平移后得到长为$2×3=6$厘米、宽为3厘米的大长方形，周长：$(6+3)×2=18$（厘米）；
(2) 摆n层时，平移后大长方形的长为$2n$厘米，宽为$n$厘米，根据长方形周长公式，周长为$(2n + n)×2=6n$（厘米）；
(3) 当n=2023时，周长为$6×2023=12138$（厘米）；
【答案】
(1)6；12；18 (2)$6n$ (3)12138
【知识点】
图形周长、找规律、平移法
【点评】
本题通过平移法将不规则图形转化为规则长方形简化周长计算，重点考查学生的观察归纳能力和公式应用能力。
【难度系数】
0.5
【分析】
先观察图形，摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形时相邻三角形共用1根小棒，只需增加2根小棒，共5根；摆3个三角形再增加2根小棒，共7根……由此发现规律：每多摆1个三角形，就多需要2根小棒，进而推出摆n个三角形的小棒数量公式；再根据公式，已知小棒总数求三角形个数，代入公式计算即可。
【解析】
(1) 分析小棒数量与三角形个数的关系：摆1个三角形用小棒：$3=2×1+1$；摆2个三角形用小棒：$5=2×2+1$；摆3个三角形用小棒：$7=2×3+1$；……以此类推，摆$n$个三角形需要的小棒数为$2n+1$根。
(2) 设可以摆$n$个三角形，根据公式$2n+1=43$，解方程得：$2n=43-1=42$，$n=42÷2=21$（个）。
【答案】
(1)$2n+1$；(2)21个
【知识点】
图形规律、用字母表示数、一元一次方程
【点评】
本题通过摆三角形的图形变化探究数量规律，考查学生的观察归纳能力和代数运算能力，是基础的规律应用题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决这个问题，需先观察每次分完后三角形数量的变化，计算前几次的数量，找到数量变化的规律，再根据规律推导第n次分完后的三角形总数。具体步骤为：先算出第1、2、3次分完的三角形个数，对比发现每次增加的数量固定，进而总结通项公式。
【解析】
我们先计算前几次分完后三角形的个数：
第1次分完，三角形的个数为4；
第2次分完，在第1次的基础上增加了3个，总数为 $4 + 3 = 7$；
第3次分完，在第2次的基础上又增加了3个，总数为 $7 + 3 = 10$；
……
由此可知，每多分1次，三角形的个数就增加3个。那么第n次分完时，比第1次多了$(n-1)$次增加，总个数为：
$4 + 3×(n - 1) = 3n + 1$
【答案】
$3n+1$
【知识点】
找规律、列代数式
【点评】
本题是典型的找规律题目，通过观察图形分割后数量的变化，归纳出等差数列的规律，进而推导出第n项的表达式，考查学生的观察能力与归纳总结能力。
【难度系数】
0.6
【分析】首先观察图形，发现挖去小三角形的数量存在规律：图1挖去1个，图2在剩余的3个小三角形中各挖1个，新增3个，共挖去1+3个；图3在图2剩余的3×3个小三角形中各挖1个，新增3²个，共挖去1+3+3²个……由此归纳出，第n个图挖去的小三角形总数是首项为1、公比为3的等比数列前n项和，即1+3+3²+…+3^(n-1)，据此计算图6的挖去数量。
【解析】根据图形规律：图1挖去的小三角形数量为1=3⁰；图2挖去的数量为1+3=1+3¹；图3挖去的数量为1+3+3×3=1+3+3²；……；图k挖去的数量为1+3+3²+…+3^(k-1)。因此图6挖去的数量为1+3+3²+3³+3⁴+3⁵，计算得：1+3+9+27+81+243=364（个）。
【答案】364个
【知识点】图形规律探究、等比数列求和
【点评】本题属于规律探究类题目，核心是通过前几个图形的变化归纳出数量变化的等比规律，进而利用数列求和计算结果，重点考查学生的观察、归纳与运算能力。
【难度系数】0.4
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