解：$(2) $因为$△ ABC$是边长为$1$的等边三角形，
所以点$B，C$在以点$A$为圆心，$1$为半径的$\odot A$上。
$ $因为$BC$是$\odot O$的以点$A$为中心的$“$关联线段$”$，
所以点$B，C$绕点$A$旋转后的对应点$B'，C'$是$\odot A$
和$\odot O$的交点。
$ $不妨设点$A$在$x$轴上方，点$B'$在点$C'$左侧，$OA$
与$B'C'$的交点为$D$，
连接$OB'，OC'，AB'，AC'$，
则$OB'=OC'=AB'=AC'=1$，
所以四边形$AB'OC'$是菱形，
$ $所以$AD=\frac {1}{2}OA$，$OA ⊥ B'C'$，
所以$∠ ADB'=90°$。
$ $因为$∠ AB'C'=60°$，
所以$∠ B'AD=90°-∠ AB'C'=30°$，
$ $所以$B'D=\frac {1}{2}AB'=\frac {1}{2}$，
$ $所以$AD=\sqrt {AB'^2 - B'D^2}=\frac {\sqrt {3}}{2}$，
$ $所以$OA=2AD=\sqrt {3}$，可得$A(0，\sqrt {3})$；
$ $当点$A$在$x$轴下方时，同理可得$A(0，-\sqrt {3})$。
综上所述，$t $的值为$\pm \sqrt {3}$。
$ (3) $由题意得$AB'=AB=1$，$AC'=AC=2$，
$OB'=OC'=1$。
$ $当$A，O，C'$三点共线时，$OA$的长取最小值，
此时$OA=AC'-OC'=1$，
则$OA=OB'=OC'$。
因为点$B'，C'$在$\odot O$上，
所以$AC'$为$\odot O$的直径，
所以$∠ AB'C'=90°$，
所以$BC=B'C'=\sqrt {AC'^2 - AB'^2}=\sqrt {3}$；
$ $当$A，O，B'$三点共线时，$OA$的长取最大值，
此时$OA=AB'+OB'=2$，
所以$OA=AC'$。过点$A$作$AE ⊥ OC'$于点$E$，
过点$C'$作$C'F ⊥ OA$于点$F$，
则$∠ OEA=∠ OFC'=∠ B'FC'=90°$，
$OE=\frac {1}{2}OC'=\frac {1}{2}$，
$ $所以$AE=\sqrt {OA^2 - OE^2}=\frac {\sqrt {15}}{2}$。
$ $因为$S_{△ AOC'}=\frac {1}{2}OA · C'F=\frac {1}{2}OC' · AE$，
所以$C'F=\frac {OC' · AE}{OA}=\frac {\sqrt {15}}{4}$，
$ $所以$OF=\sqrt {OC'^2 - C'F^2}=\frac {1}{4}$，
所以$B'F=OB'-OF=\frac {3}{4}$，
$ $所以$BC=B'C'=\sqrt {B'F^2 + C'F^2}=\frac {\sqrt {6}}{2}$。
综上所述，$OA$长的最小值为$1$，相应的$BC$长
为$\sqrt {3}$；$OA$长的最大值为$2$，相应的$BC$长为$\frac {\sqrt {6}}{2}$。
