第9页 - 通城学典课时作业本八年级数学苏科版江苏

$\mathrm{Rt}△$

一条直角边

HL

D

C

$28°$

$55°$

 证明：

 $\because BE⊥ AC, CD⊥ AB，$

 $\therefore ∠ ADC = ∠ AEB = 90°，$$∠ BDO = ∠ CEO = 90°。$

 在$△ DOB$和$△ EOC$中，

 $\begin{cases} ∠ BDO = ∠ CEO, \\ ∠ DOB = ∠ EOC, \\ OB = OC, \end{cases}$

 $\therefore △ DOB ≌ △ EOC \mathrm{ (AAS)}，$

 $\therefore OD = OE。$

 在$\mathrm{Rt}△ ADO$和$\mathrm{Rt}△ AEO$中，

 $\begin{cases} OD = OE, \\ OA = OA, \end{cases}$

 $\therefore \mathrm{Rt}△ ADO ≌ \mathrm{Rt}△ AEO \mathrm{ (HL)}，$

 $\therefore ∠ DAO = ∠ EAO，$

 $\therefore AO$平分$∠ BAC。$

【分析】本题考查直角三角形的数学符号表示，属于基础概念识记题，只需准确回忆数学中规定的直角三角形专用符号即可，无需复杂推导，直接对应填写即可。
【解析】在数学几何中，为了简便表示直角三角形，规定用符号“Rt△”来表示直角三角形，因此本题空白处应填写该符号。
【答案】Rt△
【知识点】直角三角形的符号表示
【点评】本题为几何入门级基础概念题，仅考查对直角三角形专用符号的记忆，无复杂逻辑，只要平时识记过相关知识点即可轻松作答，属于基础送分题。
【难度系数】0.9

【分析】
本题考查直角三角形全等的判定定理，解题思路是回忆直角三角形特有的全等判定方法：除适用于所有三角形的全等判定定理外，直角三角形还有专门的“斜边、直角边”判定定理，即斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，据此即可填写对应内容。
【解析】
根据直角三角形全等的“斜边、直角边”（HL）判定定理，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，因此题目中两个空依次填写一条直角边、HL。
【答案】
一条直角边；HL
【知识点】
直角三角形全等判定（HL）
【点评】
本题直接考查直角三角形全等判定的基础定理内容，属于概念识记类题目，是初中数学必须掌握的基础知识点，难度较低。
【难度系数】
0.9

【分析】
要判定两个直角三角形全等，需结合直角三角形已有一个直角相等的特性，依据全等三角形的通用判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）及直角三角形的特殊判定定理（HL），逐一分析选项的条件是否满足全等要求，排除错误选项后确定答案。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：仅一锐角对应相等，加上直角后只有两个角相等，无对应边相等，只能判定三角形相似，无法判定全等，故A错误；
选项B：两锐角对应相等，三个角均相等，只能判定三角形相似，不能判定全等，故B错误；
选项C：仅一条边对应相等，加上直角后缺少足够的边或角条件，无法判定全等，故C错误；
选项D：两条边对应相等时，若为两条直角边，可利用SAS判定全等；若为一条直角边和斜边，可利用HL判定全等，均满足直角三角形全等的条件，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的判定
【点评】
本题考查直角三角形全等的判定，需明确全等与相似的判定差异，直角三角形除通用判定定理外还有特殊的HL定理，解题时要结合边和角的条件综合判断，避免混淆相似与全等的条件。
【难度系数】
0.6

【分析】
要找到与AO长度相等的线段，需先通过直角三角形全等推导线段关系，再判定四边形形状，利用平行四边形性质得出结论。首先由垂直得到直角，结合已知线段相等证明直角三角形全等，得到一组对边平行且相等，判定四边形为平行四边形，最后根据平行四边形对角线互相平分得到AO的等长线段。
【解析】
1. 因为AE⊥BD，CF⊥BD，所以∠AED=∠CFB=90°，即△ADE和△CBF均为直角三角形。
2. 已知BE=DF，等式两边同时减去EF，得BE - EF = DF - EF，即BF=DE。
3. 在Rt△ADE和Rt△CBF中，AD=BC（已知），DE=BF（已证），根据HL定理，可证Rt△ADE≌Rt△CBF，因此AE=CF。
4. 由于AE⊥BD，CF⊥BD，所以AE//CF，又AE=CF，故四边形AECF是平行四边形。
5. 根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，所以AO=CO。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形全等、平行四边形判定与性质
【点评】
本题结合直角三角形全等和平行四边形的性质进行推理，考查了几何图形的逻辑推导能力，是基础几何综合题。
【难度系数】
0.5

【分析】
要解决本题，首先根据AD=CF，利用等式性质推导出AC=DF；再结合已知的直角条件和AB=DE，用直角三角形全等的HL判定定理证明△ABC和△DEF全等；最后利用全等三角形对应角相等，结合直角三角形两锐角互余，计算出∠F的度数。
【解析】
1. 由AD=CF，根据等式的性质，两边同时加DC，可得：AD+DC=CF+DC，即AC=DF。
2. 因为∠B=∠E=90°，所以△ABC和△DEF都是直角三角形。
3. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，
$\{\begin{array}{l}AB=DE\\AC=DF\end{array} $
根据直角三角形全等的HL判定定理，可得Rt△ABC≌Rt△DEF。
4. 由全等三角形的性质，对应角相等，所以∠F=∠ACB。
5. 在Rt△ABC中，∠A+∠ACB=90°（直角三角形两锐角互余），已知∠A=62°，则∠ACB=90°-62°=28°，因此∠F=28°。
【答案】
28°
【知识点】
直角三角形全等判定(HL)、全等三角形性质、直角三角形内角和
【点评】
本题为基础几何题，核心考查直角三角形全等的判定与性质，解题关键是通过线段和差关系得到全等所需的边，难度较低，适合巩固几何基础。
【难度系数】
0.6

【分析】首先利用邻补角的性质求出∠DFC的度数，再结合垂直条件得到直角，通过HL定理证明两个直角三角形全等，得到对应角相等，最后根据垂直的性质计算出∠EDF的度数。
【解析】
1. 计算∠DFC的度数：因为∠AFD与∠DFC互为邻补角，所以∠DFC = 180° - ∠AFD = 180° - 145° = 35°。
2. 证明三角形全等：已知DE⊥AB，DF⊥BC，因此∠DEB = ∠FDC = 90°，即△DEB和△FDC均为直角三角形。又因为BE=CD，BD=CF，根据直角三角形全等的HL定理，可得Rt△DEB ≌ Rt△FDC。
3. 推导∠BDE的度数：由全等三角形的对应角相等，得∠BDE = ∠CFD = 35°。
4. 计算∠EDF的度数：因为DF⊥BC，所以∠FDB = 90°，而∠FDB = ∠BDE + ∠EDF，因此∠EDF = 90° - ∠BDE = 90° - 35° = 55°。
【答案】55°
【知识点】直角三角形全等判定、邻补角性质、角度计算
【点评】本题结合直角三角形全等的判定与角度计算，核心是利用邻补角和全等三角形的性质转化角度，属于中等难度的几何基础题。
【难度系数】0.5

【分析】
要证明AO平分∠BAC，根据角平分线的判定，需证明∠DAO=∠EAO，即需证明Rt△ADO≌Rt△AEO。要得到OD=OE，需先证明△DOB≌△EOC：已知OB=OC，结合BE⊥AC、CD⊥AB可得直角相等，加上对顶角相等，用AAS可证△DOB≌△EOC，得到OD=OE后，再用HL证明Rt△ADO≌Rt△AEO，即可推出AO平分∠BAC。
【解析】
证明：
∵ BE⊥AC，CD⊥AB，
∴ ∠BDO = ∠CEO = 90°（垂直的定义）。
在△DOB和△EOC中，
$\begin{cases}∠BDO = ∠CEO, \\∠DOB = ∠EOC, \\OB = OC,\end{cases}$
∴ △DOB ≌ △EOC（AAS），
∴ OD = OE（全等三角形对应边相等）。
在Rt△ADO和Rt△AEO中，
$\begin{cases}OD = OE, \\OA = OA,\end{cases}$
∴ Rt△ADO ≌ Rt△AEO（HL），
∴ ∠DAO = ∠EAO（全等三角形对应角相等），
∴ AO平分∠BAC（角平分线的定义）。
【答案】
AO平分∠BAC，证明过程如上。
【知识点】
全等三角形的判定（AAS、HL），角平分线的判定
【点评】
本题为几何基础证明题，通过两次全等三角形的判定推导结论，考查学生对全等三角形判定定理和角平分线定义的掌握，思路清晰，步骤明确，是典型的几何逻辑推理题型。
【难度系数】
0.6