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角两边
角两边距离相等
B
$40°$
2
4
解：
(1) 如图，点P即为所求。
(2) 由(1)，知$OP$是$∠ AOB$的平分线，
$\therefore ∠ POH=∠ POQ。$
$\because PH⊥ OA，$$PQ⊥ OB，$
$\therefore ∠ PHO=∠ PQO=90°。$
在$△ OPH$和$△ OPQ$中，
$\begin{cases} ∠ PHO=∠ PQO,\\ ∠ POH=∠ POQ,\\ OP=OP, \end{cases}$
$\therefore △ OPH ≌ △ OPQ(\mathrm{AAS})，$
$\therefore PH=PQ，$$S_{△ OPH}=S_{△ OPQ}=\frac{1}{2}S_{四边形OQPH}=10\ \mathrm{cm^2}，$
$\therefore S_{△ OPH}=\frac{1}{2}OH· PH=\frac{1}{2}×5PH=10\ \mathrm{cm^2}，$
$\therefore PH=4\ \mathrm{cm}，$
$\therefore PQ=4\ \mathrm{cm}。$

【分析】本题考查角平分线性质定理的识记，解题时需准确回忆角平分线性质定理的核心内容，明确定理中描述的距离对应的是角的哪两个边，从而确定填空内容。
【解析】根据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此横线处应填写“角两边”。
【答案】角两边
【知识点】角平分线的性质定理
【点评】本题为基础概念识记题，主要考查对几何定理的准确记忆，是几何学习的核心基础内容，难度较低。
【难度系数】0.9
【分析】
本题考查角平分线性质定理的逆定理的识记，解题时需回忆角平分线相关定理的内容：角平分线性质定理是角平分线上的点到角两边的距离相等，其逆定理是将条件与结论互换，即角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，据此即可完成填空。
【解析】
根据角平分线性质定理的逆定理的内容，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此横线处应填“角两边距离相等”。
【答案】
角两边距离相等
【知识点】
角平分线性质定理的逆定理
【点评】
本题属于几何基础概念题，主要考察对定理内容的准确识记，是角平分线相关知识的基础内容，难度较低。
【难度系数】
0.8
【分析】
要解决这道题，需结合角平分线的性质和垂线段最短的知识点思考：首先，角平分线上的点到角两边的距离相等，题目中P在∠AOB的平分线上，且P到OA的距离为6，由此可推出P到OB的距离也为6；其次，Q是OB上的任意一点，根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”，可知PQ的长度至少等于P到OB的垂线段长度，进而判断PQ的范围。
【解析】
1. 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。因为点P在∠AOB的平分线上，P到OA的距离为6，所以P到OB的距离也为6。
2. 根据垂线段最短的性质：Q是OB上的任意一点，PQ是点P到直线OB上点Q的连线，其中垂线段最短，因此PQ≥P到OB的距离，即PQ≥6。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质、垂线段最短
【点评】
本题考查角平分线性质与垂线段最短的基础应用，属于常规题型，需牢记相关几何性质，理清线段长度的关系即可快速得出答案。
【难度系数】
0.6
【分析】
要计算∠AOB的度数，首先根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，由PE⊥OA，PF⊥OB且PE=PF，可得出OP平分∠AOB，即∠POF=∠POE；再利用直角三角形两锐角互余，在Rt△OPF中算出∠POF的度数，最后结合角平分线的性质，即可求出∠AOB的度数。
【解析】
∵ PE⊥OA，PF⊥OB，
∴ ∠PEO = ∠PFO = 90°，
又
∵ PE = PF，
∴ OP是∠AOB的角平分线（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∴ ∠POF = ∠POE。
在Rt△OPF中，∠OFP = 90°，∠OPF = 70°，
∴ ∠POF = 90° - ∠OPF = 90° - 70° = 20°，
∴ ∠AOB = 2∠POF = 2×20° = 40°。
【答案】
40°
【知识点】
角平分线的判定、直角三角形的性质
【点评】
本题考查角平分线的判定定理和直角三角形的内角性质，属于基础几何题，解题关键是利用角平分线判定得到OP平分∠AOB，再结合直角三角形的角度关系计算，难度较低。
【难度系数】
0.7
【分析】要解决本题，需运用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先过点D作AB的垂线，构造出点D到AB的距离，结合△ABD的面积和AB的长度，通过三角形面积公式求出该距离，再根据角平分线性质即可得到DE的长度。
【解析】过点D作DF⊥AB于点F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴根据角平分线的性质，可得DF=DE。
已知△ABD的面积为5，AB=5，
根据三角形面积公式：$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×AB×DF$，
代入数据得：$5=\frac{1}{2}×5×DF$，
解得DF=2，
因此DE=DF=2。
【答案】2
【知识点】角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】本题是基础题型，核心考查角平分线性质的应用，解题关键是通过作辅助线构造角两边的距离，结合面积公式推导结果，思路清晰，难度较低。
【难度系数】0.6
【分析】
要解决本题，需结合平行线的性质和角平分线的性质。首先，由AB//CD且AD⊥AB，可推出AD也垂直于CD，即PA⊥AB、PD⊥CD；接着，利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点P到AB、BC的距离相等，点P到CD、BC的距离相等，因此这三个距离相等；最后结合AD=PA+PD=8，即可求出点P到BC的距离。
【解析】
过点P作PE⊥BC于点E，则PE为点P到BC的距离。
1. 因为AB//CD，AD⊥AB，根据“如果一条直线垂直于一组平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”，可得AD⊥CD，即PA⊥AB，PD⊥CD，故∠A=∠D=90°。
2. 因为BP平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以PA=PE。
3. 同理，CP平分∠DCB，PD⊥CD，PE⊥BC，可得PD=PE。
4. 因此PA=PD=PE。
5. 已知AD=PA+PD=8，所以PA=PD=8÷2=4，故PE=4，即点P到BC的距离为4。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质，平行线的性质
【点评】
本题主要考查角平分线性质的应用，通过作辅助线将所求距离转化为已知线段的和，结合平行线的垂直关系简化计算，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.6
【分析】
第（1）问，要找直线MN上到OA、OB距离相等的点，根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，该点必在∠AOB的平分线上，因此只需作∠AOB的平分线，其与直线MN的交点即为所求的点P；第（2）问，由（1）知OP是∠AOB的平分线，结合PH⊥OA、PQ⊥OB，可利用角平分线性质得PH=PQ，再通过AAS证明△OPH≌△OPQ，进而将四边形面积转化为两个全等三角形的面积，结合三角形面积公式即可求出PQ的长度。
【解析】
（1）作∠AOB的平分线，该平分线与直线MN的交点即为所求的点P，作图痕迹保留（略）。
（2）由（1）可知，OP是∠AOB的平分线，因此∠POH=∠POQ。
∵ PH⊥OA，PQ⊥OB，
∴ ∠PHO=∠PQO=90°。
在△OPH和△OPQ中：
$\begin{cases}∠PHO=∠PQO \\∠POH=∠POQ \\OP=OP\end{cases}$
∴ △OPH ≌ △OPQ（AAS），
∴ PH=PQ，且$S_{△OPH}=S_{△OPQ}$。
∵ 四边形OQPH的面积为20 cm²，
∴ $S_{△OPH}=\frac{1}{2}×20=10$ cm²。
又
∵ $S_{△OPH}=\frac{1}{2}×OH×PH$，OH=5 cm，
∴ $\frac{1}{2}×5×PH=10$，解得PH=4 cm，
∴ PQ=4 cm。
【答案】
（1）作∠AOB的平分线与直线MN的交点即为点P（作图略）；（2）PQ的长为4 cm。
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定，三角形面积计算
【点评】
本题结合角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积公式，考查了学生对基础几何知识的综合应用能力，解题关键在于利用角平分线性质得到线段相等，再通过全等三角形实现面积的转换，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.6
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