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等边三角形
$60°$
相等
等腰
斜边的一半
D
10
$120°$
6
证明：$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ A = ∠ B = 60°，$$AB = AC。$
$\because AD = CF，$
$\therefore AC - CF = AB - AD，$即$AF = BD。$
在$△ ADF$和$△ BED$中，
$\begin{cases} AD = BE, \\ ∠ A = ∠ B, \\ AF = BD, \end{cases}$
$\therefore △ ADF ≌ △ BED \ (\mathrm{SAS})，$
$\therefore DF = ED。$
同理，可得$DF = FE，$
$\therefore DF = ED = FE，$
$\therefore △ DEF$为等边三角形。
【分析】本题考查三角形的基本概念，解题思路是回忆三角形按边分类的相关定义，明确三边都相等的三角形的专属名称，直接对应填写即可。
【解析】根据三角形的分类定义，三边都相等的三角形叫做等边三角形，因此空格处应填写等边三角形。
【答案】等边三角形
【知识点】三角形的概念
【点评】本题属于基础概念识记题，难度较低，只要准确记忆相关数学定义即可轻松解答，适合巩固基础知识点。
【难度系数】0.9
【分析】要解决该问题，需结合三角形内角和定理与等边三角形的定义：等边三角形三条边相等，对应的三个内角也相等，而任意三角形内角和为180°，据此可计算出等边三角形每个内角的度数。
【解析】因为三角形内角和为180°，等边三角形的三个内角大小相等，所以每个内角的度数为180°÷3=60°。
【答案】60°
【知识点】等边三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】本题考查等边三角形的基础性质，属于概念识记类题目，难度较低，只要掌握等边三角形角的特点即可轻松解答。
【难度系数】0.9
【分析】
要解答本题，需牢记等边三角形的两个核心判定定理：一是利用三角形内角和推导，三个角都相等的三角形，每个角为60°，属于等边三角形；二是结合等腰三角形的性质，有一个角是60°的等腰三角形，其余角也为60°，属于等边三角形，据此可完成填空。
【解析】
根据等边三角形的判定定理：
(1) 三个角都相等的三角形是等边三角形，故填“相等”；
(2) 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故填“等腰”。
【答案】
(1)相等 (2)等腰
【知识点】
等边三角形的判定定理
【点评】
本题考查等边三角形的基础判定定理，属于概念识记类题目，是几何学习的核心基础内容，需准确记忆相关定理。
【难度系数】
0.8
【分析】本题考查直角三角形的特殊性质，解题时需回忆“在直角三角形中，30°锐角所对的直角边与斜边的数量关系”这一核心知识点，直接运用该性质即可得出结论。
【解析】根据直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，因此本题中该30°锐角所对的直角边是斜边的一半。
【答案】斜边的一半
【知识点】直角三角形的性质、30°角的直角三角形性质
【点评】本题属于基础概念识记类题目，考查学生对直角三角形特殊性质的掌握，难度较低，是几何学习中必须牢记的基础知识点。
【难度系数】0.9
【分析】要判断△ABC是否为等边三角形，需先回忆等边三角形的判定定理，再逐一分析每个选项：等边三角形的判定方法有：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②三边都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。接下来对每个选项对应上述判定方法进行验证，找出不能判定的选项。
【解析】根据等边三角形的判定定理逐一分析选项：
选项A：若∠A=∠B=∠C，满足“三个角都相等的三角形是等边三角形”，可判定△ABC为等边三角形；
选项B：若AB=BC，AC=BC，则AB=BC=AC，满足“三边都相等的三角形是等边三角形”，可判定△ABC为等边三角形；
选项C：若AB=BC，说明△ABC是等腰三角形，又∠B=60°，满足“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，可判定△ABC为等边三角形；
选项D：若AB=BC，说明△ABC是等腰三角形，∠A=∠C是等腰三角形两底角相等的固有性质，仅能证明是等腰三角形，无法判定为等边三角形。因此不能判断的是D选项。
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定
【点评】本题考查等边三角形的判定，核心是区分等腰三角形与等边三角形的判定条件，属于基础题型，需熟练掌握相关定理避免概念混淆。
【难度系数】0.5
【分析】首先，根据直角三角形两锐角互余的性质，结合已知∠C=2∠B，求出∠B的度数；再利用含30°角的直角三角形的性质（30°角所对的直角边等于斜边的一半），即可计算出斜边BC的长度。
【解析】在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，根据直角三角形两锐角互余，得$∠ B + ∠ C = 90°$。
已知$∠ C=2∠ B$，代入得$∠ B + 2∠ B = 90°$，即$3∠ B=90°$，解得$∠ B=30°$。
根据“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，$∠ B=30°$所对的直角边为$AC$，且$AC=5$，因此$BC=2AC=2×5=10$。
【答案】10
【知识点】直角三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】本题考查直角三角形的基础性质，核心是通过角度关系确定30°角，再利用性质求解斜边，属于常规基础题，难度较低。
【难度系数】0.7
【分析】
要计算∠BDE的度数，需结合等边三角形和等腰三角形的性质推导：首先，等边三角形ABC的内角为60°，BD是AC中线，根据等边三角形三线合一，BD⊥AC，可得∠BDC=90°；再由CE=CD，△CDE为等腰三角形，结合∠DCE的度数求出∠CDE，最后将∠BDC与∠CDE相加得到∠BDE。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵BD是AC边上的中线，等边三角形三线合一，
∴BD⊥AC，即∠BDC=90°，
又
∵∠DCE=180°−∠ACB=180°−60°=120°，
且CE=CD，
∴△CDE是等腰三角形，
∴∠CDE=(180°−∠DCE)÷2=(180°−120°)÷2=30°，
∴∠BDE=∠BDC + ∠CDE=90°+30°=120°。
【答案】
120°
【知识点】
等边三角形性质、等腰三角形性质、三角形内角和
【点评】
本题考查等边三角形与等腰三角形的性质，利用等边三角形三线合一得到直角，结合等腰三角形内角和求角度，步骤清晰，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决本题，需利用线段垂直平分线的性质、等腰三角形性质、三角形外角性质及直角三角形的特殊性质。首先，由AB的垂直平分线DE，可得AD=BD；再结合∠A=15°，推出∠BDC=30°；最后在Rt△BCD中，根据“30°角所对直角边等于斜边的一半”计算BC的长度。
【解析】
∵ DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，点D在AB的垂直平分线上，
∴ BD = AD = 12。
∵ BD = AD，
∴ △ABD为等腰三角形，故∠ABD = ∠A = 15°。
根据三角形外角的性质，∠BDC是△ABD的外角，因此：
∠BDC = ∠A + ∠ABD = 15° + 15° = 30°。
在Rt△BCD中，∠ACB=90°，∠BDC=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
BC = ½ BD = ½ × 12 = 6。
【答案】
6
【知识点】
线段垂直平分线性质；直角三角形性质；等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查了线段垂直平分线、等腰三角形及直角三角形的相关性质，解题核心是利用垂直平分线得到相等线段，进而求出30°角，再应用直角三角形的特殊性质求解，难度适中。
【难度系数】
0.5
【分析】
要证明△DEF为等边三角形，需利用等边三角形的判定定理（三边相等的三角形是等边三角形）。已知△ABC是等边三角形，先根据等边三角形的性质得到边相等、角为60°，再结合AD=BE=CF的条件，推导出可用于证明三角形全等的边相等关系，通过SAS证明三角形全等得到对应边相等，进而得出△DEF的三边相等，完成证明。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=60°，AB=AC。
∵AD=CF，
∴AC - CF = AB - AD，即AF=BD。
在△ADF和△BED中，
$\{\begin{array}{l}AD=BE, \\∠A=∠B, \\AF=BD,\end{array} $
∴△ADF≌△BED（SAS），
∴DF=ED。
同理，可证△BED≌△CFE，得DE=FE，
∴DF=ED=FE，
∴△DEF为等边三角形。
【答案】
△DEF为等边三角形，证明如上。
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定（SAS）、等边三角形的判定
【点评】
本题综合考查等边三角形的性质与全等三角形的判定，是几何证明的基础题型，核心是通过全等三角形得到边相等，进而判定等边三角形，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.5
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