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斜边
B
C
$40°$
24
解：
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$CD$是斜边$AB$上的中线，
$\therefore CD=AD=\frac{1}{2}AB，$
$\therefore ∠ ACD = ∠ A。$
$\because ∠ A = 35°，$
$\therefore ∠ ACD = 35°。$
$\because ∠ CDE$是$△ ACD$的外角，
$\therefore ∠ CDE = ∠ A + ∠ ACD = 70°。$
由作图，得$CD=CE，$
$\therefore ∠ CED = ∠ CDE = 70°。$
$\because △ CDE$的内角和为$180°，$
$\therefore ∠ DCE = 180° -70° -70° = 40°$
【分析】
要解决本题，需分两步思考：第一步，利用直角三角形斜边中线的性质求出AB的长度；第二步，结合平移的性质得到AB与GE的对应关系，进而求出GE的长。具体思路：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB中点，根据直角三角形斜边中线定理可建立CD与AB的关系，算出AB；再根据平移的对应线段相等，得到AB=GE，从而求出GE。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$D$为$AB$的中点，根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得$CD=\frac{1}{2}AB$。
已知$CD=1$，代入得：$1=\frac{1}{2}AB$，解得$AB=2$。
因为$△ ABC$沿$CB$方向平移至$△ EGF$处，根据平移的性质：平移前后对应线段相等，所以$AB=GE$。
因此$GE=AB=2$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；平移的性质
【点评】
本题结合直角三角形性质与平移性质考查线段长度计算，核心是利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的定理，再结合平移对应边相等的性质，解题思路清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
【分析】
要确定到三个村庄A、B、C距离相等的点P的位置，需结合“到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上”的性质，以及直角三角形的特殊性质分析：到A、B距离相等的点在AB的垂直平分线上，到B、C距离相等的点在BC的垂直平分线上，两者的交点即为所求；而直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等，因此只需找到斜边AC的中点即可。
【解析】
已知AB⊥BC，故△ABC是直角三角形，∠B=90°。根据直角三角形的性质：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等。因此，满足到A、B、C三个村庄距离相等的活动中心P，应在斜边AC的中点处，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形性质；线段垂直平分线性质
【点评】
本题考查直角三角形的性质，核心是利用“直角三角形斜边中点到三顶点距离相等”的结论，属于基础几何题，难度较低。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决这个问题，我们可以分两步推导：首先利用直角三角形两锐角互余求出∠A的度数；再根据直角三角形斜边中线的性质，得到CD与AD的关系，推出△ACD是等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质得到∠ACD的度数。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，根据直角三角形两锐角互余，可得$∠ A + ∠ B = 90°$。已知$∠ B=50°$，因此$∠ A = 90° - 50° = 40°$。
因为CD是斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，所以$CD = AD$，即$△ ACD$为等腰三角形。根据等腰三角形两底角相等的性质，可得$∠ ACD = ∠ A = 40°$。
【答案】
40°
【知识点】
直角三角形性质，斜边中线定理，等腰三角形性质
【点评】
本题是直角三角形相关的基础题，核心考查直角三角形的性质和斜边中线定理，解题思路直接，属于巩固基础的典型题型。
【难度系数】
0.7
【分析】
要解决本题，需结合等腰三角形的性质和三角形中位线定理分析：首先由∠ABC=∠C确定△ABC是等腰三角形；再根据AD是角平分线，利用等腰三角形三线合一得到D是BC中点；由BE是中线得到E是AC中点，进而推出DE是△ABC的中位线，最后根据中位线定理计算AB的长度。
【解析】
1. 由∠ABC=∠C，可知△ABC为等腰三角形，AB=AC。
2. 因为AD是△ABC的角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，AD同时是BC边上的中线，因此D为BC的中点，即BD=DC。
3. 又因为BE是△ABC的中线，所以E为AC的中点，即AE=EC。
4. 在△ABC中，D是BC中点，E是AC中点，故DE是△ABC的中位线。根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，可得$DE = \frac{1}{2}AB$。
5. 已知DE=12，代入得$12 = \frac{1}{2}AB$，解得AB=24。
【答案】
24
【知识点】
等腰三角形性质，三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查等腰三角形的三线合一性质和三角形中位线定理，解题关键是识别出DE为三角形的中位线，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决本题，首先利用直角三角形斜边中线的性质得到CD=AD，推出∠ACD=∠A；接着借助三角形外角的性质求出∠CDE的度数；再根据作图可知CD=CE，即△CDE为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等得到∠CED=∠CDE；最后结合三角形内角和为180°，计算出∠DCE的度数。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，$CD$是斜边$AB$上的中线，根据直角三角形斜边中线的性质，得$CD=AD=\dfrac{1}{2}AB$，因此$∠ ACD=∠ A$。
已知$∠ A=35°$，所以$∠ ACD=35°$。
因为$∠ CDE$是$△ ACD$的外角，根据三角形外角的性质，$∠ CDE=∠ A+∠ ACD=35°+35°=70°$。
由作图可知，$CD=CE$，即$△ CDE$是等腰三角形，所以$∠ CED=∠ CDE=70°$。
根据三角形内角和为$180°$，得$∠ DCE=180°-∠ CDE-∠ CED=180°-70°-70°=40°$。
【答案】
40°
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形性质；三角形内角和
【点评】
本题综合考查直角三角形斜边中线、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题关键是熟练运用几何性质推导角度关系，属于基础几何题，注重对核心知识点的应用。
【难度系数】
0.6
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