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a
b
c
b
c
a
a
c
b
直角三角形
B
100
解：如图，正方形ABCD即为所求。

$S_{△ ACB} + S_{△ ABE} + S_{△ ADE} = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab$
$S_{△ ACB} + S_{△ ABD} + S_{△ BDE} = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b-a)$
$\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b-a)$
【分析】
要解决本题，需掌握勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。解题时先确定直角对应的对边，该边即为斜边，剩余两边为直角边，再对应写出平方和的等式即可。
【解析】
1. 当∠C=90°时，∠C的对边是c，故斜边为c，直角边为a、b，根据勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2$；
2. 当∠A=90°时，∠A的对边是a，故斜边为a，直角边为b、c，根据勾股定理得：$b^2 + c^2 = a^2$；
3. 当∠B=90°时，∠B的对边是b，故斜边为b，直角边为a、c，根据勾股定理得：$a^2 + c^2 = b^2$。
【答案】
$a$ $b$ $c$ $b$ $c$ $a$ $a$ $c$ $b$
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题考查勾股定理的基础应用，核心是明确直角与斜边的对应关系，属于勾股定理的入门题型，难度较低。
【难度系数】
0.5
【分析】本题考查勾股定理应用的前提条件，当题目中没有直接给出直角三角形时，无法直接运用勾股定理，因此需要通过添加辅助线的方式构造直角三角形，这样才能利用勾股定理求解线段长度，解题的关键是明确构造直角三角形是这类问题的常用辅助手段。
【解析】解决直角三角形中求线段长的问题，必须依托直角三角形才能运用勾股定理；若题干中未出现直角三角形，需添加辅助线构造直角三角形，之后即可利用勾股定理完成求解，因此空白处应填直角三角形。
【答案】直角三角形
【知识点】勾股定理、辅助线构造直角三角形
【点评】本题为基础概念填空题，侧重考查学生对勾股定理应用场景的理解，属于数学几何中基础知识点的识记，难度较低。
【难度系数】0.8
【分析】
要解决这道题，需利用赵爽弦图的面积关系：大正方形面积等于四个全等直角三角形的面积加上中间小正方形的面积。首先明确小正方形的边长为直角三角形两条直角边的差，结合已知的小正方形面积和$(m+n)^2$的值，通过代数变形求出大正方形的面积。
【解析】
1. 赵爽弦图中，小正方形的边长为直角三角形两条直角边的差，即小正方形边长为$m-n$，已知小正方形面积为5，因此：
$(m-n)^2 = 5$。
2. 已知$(m+n)^2 = 21$，将两式展开：
$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 = 21$，
$(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2 = 5$。
3. 用前式减去后式，消去$m^2$和$n^2$，可得：
$(m^2 + 2mn + n^2) - (m^2 - 2mn + n^2) = 21 - 5$，
化简得：$4mn = 16$，即$mn = 4$。
4. 大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上小正方形的面积，每个直角三角形面积为$\frac{1}{2}mn$，因此：
大正方形面积$= 4 × \frac{1}{2}mn + 5 = 2mn + 5$，
代入$mn = 4$，得$2 × 4 + 5 = 13$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理应用、完全平方公式
【点评】
本题结合赵爽弦图考查完全平方公式与面积的综合应用，关键是明确小正方形边长与直角边的关系，利用代数变形求出所需的面积，是勾股定理应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.6
【分析】观察图形可知，中间是直角三角形，两个直角边分别对应面积为36和64的正方形，斜边对应正方形A。根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形的面积等于其边长的平方，因此A所在正方形的面积等于两个直角边对应的正方形面积之和。
【解析】设直角三角形的两条直角边对应的正方形边长分别为$a$、$b$，斜边对应的正方形边长为$c$。由正方形面积公式得：$a^2=36$，$b^2=64$；根据勾股定理，斜边的平方$c^2=a^2+b^2$，代入数值计算得：$c^2=36+64=100$，即A所在正方形的面积为100。
【答案】100
【知识点】勾股定理、正方形面积计算
【点评】本题是勾股定理的基础应用题型，核心是利用“直角三角形三边平方的关系”结合正方形面积与边长平方的联系求解，难度较低，适合基础阶段学生练习。
【难度系数】0.2
【分析】首先，13个边长为1的小正方形总面积为13，因此拼成的大正方形面积必为13，其边长为√13。根据勾股定理，直角边为2和3的直角三角形斜边长度为√(2²+3²)=√13，由此可确定大正方形的边长；再通过分割原图形，将小正方形拼接为以该斜边为边的正方形，即可得到所求大正方形。
【解析】1. 计算总面积：13个小正方形，每个面积为1，总面积S=13，故拼成的大正方形面积为13，边长a=√13。
2. 确定边长：由勾股定理，√13是直角边为2和3的直角三角形的斜边，在网格中找到长度为√13的线段，以此为边构造正方形。
3. 分割拼接：将原13个小正方形按要求分割，拼接成以该线段为边的正方形ABCD，即为所求大正方形。
【答案】如图，正方形ABCD即为所求
【知识点】勾股定理、图形拼接
【点评】本题结合勾股定理与图形面积不变性，考查学生的空间想象能力和对定理的应用能力，是典型的图形拼接类题型，体现了数形结合的思想。
【难度系数】0.5
【分析】
本题利用面积法证明勾股定理，核心是同一个五边形ACBED的面积有两种不同的拆分计算方式。先将五边形拆分为三个三角形计算面积，再将其拆分为另外三个三角形计算面积，通过建立两个面积相等的等式，化简后即可推导出勾股定理。
【解析】
证明:
1. 计算五边形ACBED的第一种面积：将其分为△ACB、△ABE、△ADE，
$ S_{△ ACB}=\frac{1}{2}ab $，$ S_{△ ABE}=\frac{1}{2}b^2 $，$ S_{△ ADE}=\frac{1}{2}ab $，
故 $ S_{\mathrm{五边形}ACBED}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab $。
2. 计算五边形ACBED的第二种面积：将其分为△ACB、△ABD、△BDE，
$ S_{△ ACB}=\frac{1}{2}ab $，$ S_{△ ABD}=\frac{1}{2}c^2 $，$ S_{△ BDE}=\frac{1}{2}a(b-a) $，
故 $ S_{\mathrm{五边形}ACBED}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a) $。
3. 由于两种方式计算的是同一个五边形的面积，因此等式成立：
$ \frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a) $，
化简后可得 $ a^2+b^2=c^2 $。
【答案】
$ S_{△ ACB}+S_{△ ABE}+S_{△ ADE}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab $；$ S_{△ ACB}+S_{△ ABD}+S_{△ BDE}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a) $；$ \frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a) $
【知识点】
勾股定理、面积法证明
【点评】
本题通过面积的不同拆分建立等式，是勾股定理的经典证明方法，体现了数形结合的数学思想，帮助学生理解勾股定理的几何意义，属于基础几何证明题型。
【难度系数】
0.6
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