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$a^2+b^2=c^2$
$a^2+b^2=c^2$
D
直角三角形
直角
B
2
$90°$
10
解：
(1) 连接AC。
$\because ∠ B=90°，$
$\therefore AC^2 = AB^2 + BC^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625。$
$\because AD^2 + CD^2 = 24^2 +7^2 = 576 + 49 = 625，$
$\therefore AD^2 + CD^2 = AC^2，$
$\therefore △ ADC$是直角三角形，且$∠ D=90°，$
$\therefore CD⊥ AD。$
234

【分析】本题考查勾股定理逆定理的内容，解题时需明确：勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要定理，其核心条件是三角形的两条较短边的平方和等于最长边的平方，对应表达式为$a^2 + b^2 = c^2$（其中$c$为最长边），据此可确定横线处的内容。
【解析】勾股定理的逆定理具体表述为：如果三角形的三边长分别为$a,b,c$，且最长边为$c$时，满足$a^2 + b^2 = c^2$，那么这个三角形是直角三角形，因此横线处应填写$a^2 + b^2 = c^2$。
【答案】$a^2 + b^2 = c^2$
【知识点】勾股定理逆定理，直角三角形判定
【点评】本题为基础概念识记题，直接考查勾股定理逆定理的核心内容，难度较低，主要检验学生对基础定理的记忆掌握情况。
【难度系数】0.9
【分析】首先明确勾股数的定义：三个正整数需满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，题目已限定a、b、c为正整数，因此只需填写对应的平方关系即可。
【解析】根据勾股数的定义，对于正整数a、b、c，若满足$a^2 + b^2 = c^2$（其中c为三个数中的最大数），则这三个数称为勾股数，因此此处应填写该等式。
【答案】$a^2 + b^2 = c^2$
【知识点】勾股数的定义
【点评】本题考查勾股数的基础概念，属于识记类题目，难度较低，学生只需准确记忆定义即可作答。
【难度系数】0.9
【分析】判断三角形是否为直角三角形，常用两种方法：①勾股定理的逆定理（验证较小两边的平方和是否等于最大边的平方）；②三角形内角和定理（计算最大角是否为90°）。接下来对每个选项逐一分析，找出不能判定为直角三角形的选项。
【解析】
1. 选项A：已知$a^2=1$，$b^2=2$，$c^2=3$，则$a^2 + b^2 =1+2=3=c^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形；
2. 选项B：设$a=3k$，$b=4k$，$c=5k(k＞0)$，则$a^2 + b^2=(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2=c^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形；
3. 选项C：根据三角形内角和为$180°$，即$∠ A + ∠ B + ∠ C=180°$，又$∠ A + ∠ B=∠ C$，代入得$∠ C + ∠ C=180°$，解得$∠ C=90°$，故$△ ABC$是直角三角形；
4. 选项D：设$∠ A=3x$，$∠ B=4x$，$∠ C=5x$，根据内角和得$3x+4x+5x=180°$，解得$x=15°$，则最大角$∠ C=5×15°=75°≠90°$，故$△ ABC$不是直角三角形。
综上，不能判断$△ ABC$为直角三角形的是选项D。
【答案】D
【知识点】勾股定理逆定理，三角形内角和定理
【点评】本题考查直角三角形的判定，属于基础题型，需掌握勾股定理逆定理和三角形内角和的应用，逐一分析选项即可得出结论，难度较低。
【难度系数】0.7
【分析】要判断△ABC的形状，可利用网格特点，通过勾股定理计算三角形三边的长度平方，再根据勾股定理的逆定理判断形状。首先确定各点在网格中的相对位置，计算出AC、AB、BC三边的平方，再验证较小两边的平方和是否等于最大边的平方，若相等则为直角三角形。
【解析】设小正方形边长为1，根据勾股定理计算三边的平方：
AC的横向距离为2，纵向距离为3，故$AC^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$；
AB的横向距离为6，纵向距离为4，故$AB^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52$；
BC的横向距离为8，纵向距离为1，故$BC^2 = 8^2 + 1^2 = 64 + 1 = 65$；
验证得：$AC^2 + AB^2 = 13 + 52 = 65 = BC^2$，根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形。
【答案】直角三角形
【知识点】勾股定理、勾股定理的逆定理
【点评】本题借助网格考查勾股定理及其逆定理的应用，属于基础题型，关键是准确计算各边的平方并验证关系，难度不大。
【难度系数】0.7
【分析】本题可通过对已知等式变形，结合勾股定理的逆定理判断三角形类型及直角位置。首先将已知等式移项，得到符合勾股定理逆定理的形式，再根据定理确定直角对应的角。
【解析】已知$a^2 = b^2 - c^2$，移项可得$a^2 + c^2 = b^2$。根据勾股定理的逆定理：若三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形，且第三边所对的角为直角。此处第三边为$b$，其对应的角是$∠ B$，因此$△ ABC$是直角三角形，$∠ B$是直角。
【答案】直角 B
【知识点】勾股定理逆定理，三角形分类
【点评】本题是勾股定理逆定理的基础应用，核心是对等式变形后匹配定理形式，确定直角边与对应角，属于易得分的基础题。
【难度系数】0.9
【分析】
本题分两小问，第(1)问利用等边三角形三边相等的性质，代入代数式直接计算；第(2)问将k=2代入后，结合勾股定理的逆定理判断∠C的度数。
【解析】
(1) 因为△ABC为等边三角形，所以a=b=c，因此$\frac{a}{c}=1$，$\frac{b}{c}=1$。代入$t=(\frac{a}{c})^k + (\frac{b}{c})^k$，由于k为整数，1的任何整数次方均为1，故$t=1^k +1^k=1+1=2$。
(2) 当k=2时，$t=(\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2=1$，两边同乘$c^2$得$a^2 + b^2 = c^2$。根据勾股定理的逆定理，在三角形中若两边平方和等于第三边平方，则第三边所对的角为直角，因此∠C=90°。
【答案】
(1) 2；(2) $90°$
【知识点】
等边三角形性质，勾股定理逆定理，代数式求值
【点评】
本题为基础题型，考查等边三角形性质、勾股定理逆定理的应用及代数式代入计算，难度较低，学生掌握基础三角形性质和代数运算即可解答。
【难度系数】
0.8
【分析】首先根据三角形三边长度，利用勾股定理的逆定理判断△ABC的形状，确定其为直角三角形；再结合直角三角形斜边中线的性质，计算CD的长度。
【解析】在△ABC中，计算得：$AC^2 + BC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$，$AB^2 = 20^2 = 400$，因此$AC^2 + BC^2 = AB^2$。根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且直角为∠ACB。因为D是AB的中点，根据直角三角形斜边中线定理，斜边的中线等于斜边的一半，所以$CD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×20 = 10$。
【答案】10
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】本题为基础几何题，核心考查直角三角形的判定与性质，解题关键是先通过三边关系判定直角三角形，再运用斜边中线定理，难度较低，适合巩固几何基础。
【难度系数】0.8
【分析】
要证明CD⊥AD，可先连接AC，利用已知的直角△ABC，通过勾股定理求出AC的平方，再结合△ADC的三边平方关系，用勾股定理逆定理判断△ADC为直角三角形，从而得到∠D=90°，即CD⊥AD；求四边形面积时，将四边形拆分为两个直角三角形△ABC和△ADC，分别计算面积后求和即可。
【解析】
（1）连接AC，在Rt△ABC中，∠B=90°，根据勾股定理：
AC² = AB² + BC² = 20² + 15² = 400 + 225 = 625。
在△ADC中，计算得：
AD² + CD² = 24² + 7² = 576 + 49 = 625，
因此AD² + CD² = AC²，根据勾股定理的逆定理，△ADC是直角三角形，且∠D=90°，故CD⊥AD。
（2）四边形ABCD的面积 = S△ABC + S△ADC，
其中S△ABC = ½×AB×BC = ½×20×15 = 150，
S△ADC = ½×AD×CD = ½×24×7 = 84，
所以四边形ABCD的面积 = 150 + 84 = 234。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）234
【知识点】
勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积计算
【点评】
本题通过连接辅助线将四边形转化为两个直角三角形，运用勾股定理及其逆定理解决问题，体现了转化思想，是几何中常见的题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
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