第26页 - 通城学典课时作业本八年级数学苏科版江苏

$AC· BC$

$DB$

D

60

 证明：$\because AB=AC，$$P$ 是边 $BC$ 的中点，

 $\therefore BP = PC，$$AP ⊥ BC，$

 $\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ APB$中，$AB^2 = AP^2 + BP^2，$

 $\therefore AB^2 - AP^2 = BP^2 = BP· CP，$

 即 $BP· CP=AB^2 - AP^2。$

 解：$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ A = 90°，$

 $\therefore AB^2 + AC^2 = BC^2。$

 $\because AB=8，$$AC=15，$

 $\therefore$ 易得 $BC=17。$

 过点 $D$ 作 $DH⊥ BC$ 于点 $H，$则$∠ BHD = 90°。$

 根据尺规作图痕迹，得 $BD$ 平分$∠ ABC，$

 $\therefore ∠ ABD = ∠ HBD。$

 又$\because ∠ A = ∠ BHD = 90°，$$BD=BD，$

 $\therefore △ ABD≌△ HBD(\mathrm{AAS})，$

 $\therefore AB = HB = 8，$$AD = HD，$

 $\therefore CH = BC - HB = 17 - 8 = 9。$

 $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ DHC$ 中，$CH^2 + DH^2 = CD^2，$

 $\therefore 9^2 + AD^2 = (15-AD)^2，$

 解得 $AD=\frac{24}{5}。$

【分析】
首先明确直角三角形的边的定义：两条直角边长为a、b，斜边长为c，勾股定理的核心公式为a²+b²=c²。解题时需根据已知两边的类型，对勾股定理公式进行合理变形：若已知两条直角边，求斜边，将公式变形为c=√(a²+b²)；若已知斜边和一条直角边，求另一条直角边，将公式变形为b=√(c²-a²)（或a=√(c²-b²)），最后代入对应边长的数值，即可求出第三边的长度。
【解析】
设直角三角形的两条直角边长为$a$、$b$，斜边长为$c$，由勾股定理得三边数量关系：
$a^2 + b^2 = c^2$
① 若已知两条直角边$a$、$b$，求斜边$c$：
对关系式变形可得 $c = \sqrt{a^2 + b^2}$，代入对应边长数值即可求得斜边长度。
② 若已知斜边$c$和其中一条直角边（如$a$），求另一条直角边$b$：
对关系式变形可得 $b = \sqrt{c^2 - a^2}$，代入对应边长数值即可求得未知直角边长度。
综上，已知直角三角形任意两边的长，均可通过上述变形后的勾股定理公式求出第三边的长。
【答案】
设直角三角形的两条直角边长为$a$、$b$，斜边长为$c$，由勾股定理得三边数量关系：
$a^2 + b^2 = c^2$
① 若已知两条直角边$a$、$b$，求斜边$c$：
对关系式变形可得 $c = \sqrt{a^2 + b^2}$，代入对应边长数值即可求得斜边长度。
② 若已知斜边$c$和其中一条直角边（如$a$），求另一条直角边$b$：
对关系式变形可得 $b = \sqrt{c^2 - a^2}$，代入对应边长数值即可求得未知直角边长度。
综上，已知直角三角形任意两边的长，均可通过上述变形后的勾股定理公式求出第三边的长。
【知识点】
勾股定理，直角三角形三边关系
【点评】
本题考查勾股定理的基础应用，解题关键是掌握勾股定理的公式及变形，明确直角三角形各边的名称，属于几何基础题，是初中数学核心基础知识点之一，难度较低。
【难度系数】
0.4

【分析】
本题考查直角三角形斜边上的高的相关结论，可通过面积法和相似三角形的性质推导。对于（1），利用直角三角形面积的两种计算方式建立等式；对于（2），通过证明三角形相似得到对应边的比例关系，进而推导结论。
【解析】
（1）在$\mathrm{Rt}△ACB$中，$∠ ACB=90°$，CD是斜边AB上的高。
三角形的面积可表示为：$S_{△ ACB}=\frac{1}{2}AC· BC$，同时也可表示为$S_{△ ACB}=\frac{1}{2}AB· CD$。
因此$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，两边同乘2得$CD· AB=AC· BC$。
（2）因为CD是斜边AB上的高，所以$∠ ADC=∠ CDB=90°$，又$∠ A+∠ ACD=90°$，$∠ ACD+∠ BCD=90°$，故$∠ A=∠ BCD$。
所以$△ ACD ∽ △ CBD$（两角分别相等的两个三角形相似），根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{CD}{AD}=\frac{DB}{CD}$，交叉相乘可得$CD^2=AD· DB$。
【答案】
(1) $AC· BC$；(2) $DB$
【知识点】
直角三角形性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是直角三角形斜边上的高的基础题型，核心是利用面积法或相似三角形推导相关结论，需要学生掌握直角三角形的面积计算及相似三角形的应用，属于必须熟练掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.5

【分析】
本题需利用直角三角形的勾股定理求解第三边，关键在于题目未明确哪条边是斜边，需分两种情况讨论：当4为斜边时，第三边为直角边；当第三边为斜边时，利用勾股定理计算，避免漏解。
【解析】
直角三角形中，根据勾股定理：直角边的平方和等于斜边的平方，分两种情况计算：
情况一：若4为斜边，3为直角边，则第三边为另一条直角边，长度为$\sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$；
情况二：若第三边为斜边，3和4均为直角边，则第三边长度为$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$；
因此第三边的长为5或$\sqrt{7}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理、分类讨论思想
【点评】
本题考查直角三角形勾股定理的应用，核心是需考虑边的身份（直角边/斜边）的不确定性，避免只计算一种情况导致错解，是基础题中易出错的典型题型。
【难度系数】
0.6

【分析】首先，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BC的长度；再根据平移的性质，确定平移后对应线段的关系，判断四边形ABC'A'的形状为梯形，进而确定梯形的上底、下底和高，最后用梯形面积公式计算结果。
【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{64}=8$。
因为Rt△ABC沿直线BC向右平移6个单位得到△A'B'C'，所以平移距离$AA'=CC'=6$，且$AA'// BC'$，$AC⊥ BC'$，因此四边形ABC'A'是梯形，其中上底$AA'=6$，下底$BC'=BC + CC'=8+6=14$，高为$AC=6$。
根据梯形面积公式：
$S_{四边形ABC'A'}=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高=\frac{1}{2}×(6+14)×6=60$。
【答案】60
【知识点】平移的性质、梯形面积计算、勾股定理
【点评】本题结合平移性质考查梯形面积计算，需先通过勾股定理求出直角边长度，再判断四边形形状，属于基础题型，解题关键是确定梯形的各边长度。
【难度系数】0.5

【分析】要证明$BP·CP = AB^2 - AP^2$，首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，由$AB=AC$且$P$是$BC$中点，得出$AP⊥BC$、$BP=CP$；接着在直角三角形$APB$中应用勾股定理，将$AB^2$转化为$AP^2 + BP^2$，变形后得到$AB^2 - AP^2 = BP^2$，再结合$BP=CP$，即可推导出结论。
【解析】证明：
∵ $AB=AC$，$P$是边$BC$的中点，
∴ $AP⊥BC$，$BP=CP$（等腰三角形三线合一）。
在$Rt△APB$中，根据勾股定理：$AB^2 = AP^2 + BP^2$，
移项得：$AB^2 - AP^2 = BP^2$，
又
∵ $BP=CP$，
∴ $BP^2 = BP·CP$，
因此，$BP·CP = AB^2 - AP^2$，得证。
【答案】$BP·CP = AB^2 - AP^2$，证明过程如上。
【知识点】等腰三角形性质、勾股定理
【点评】本题是等腰三角形与勾股定理结合的基础证明题，核心是利用等腰三角形三线合一构造直角，再通过勾股定理转化线段关系，属于几何证明的基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6

【分析】
要解决这个问题，首先根据尺规作图的痕迹判断出BD是∠ABC的角平分线，再利用角平分线的性质作辅助线，通过全等三角形得到线段关系，最后结合勾股定理列方程求解AD的长度。具体思考步骤：1. 由尺规作图可知BD平分∠ABC，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D作BC的垂线，可得到AD与DH的等量关系；2. 证明△ABD和△HBD全等，得到AB=HB，进而算出CH的长度；3. 设AD为未知数，在Rt△DHC中利用勾股定理列方程，求解得到AD的长。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ A=90°$，$AB=8$，$AC=15$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=17$。
过点$D$作$DH⊥ BC$于点$H$，如图所示。
根据尺规作图痕迹，$BD$平分$∠ ABC$，故$∠ ABD=∠ HBD$。
又$∠ A=∠ BHD=90°$，$BD=BD$，因此$△ ABD≌△ HBD(\mathrm{AAS})$。
由此可得$AB=HB=8$，$AD=HD$，则$CH=BC-HB=17-8=9$。
设$AD=x$，则$HD=x$，$CD=AC-AD=15-x$。
在$\mathrm{Rt}△DHC$中，由勾股定理得：
$DH^2+CH^2=CD^2$，即$x^2+9^2=(15-x)^2$，
展开整理得：$x^2+81=225-30x+x^2$，
消去$x^2$后解得：$30x=144$，$x=\frac{24}{5}$，即$AD=\frac{24}{5}$。
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定
【点评】
本题结合尺规作图（角平分线），综合考查了几何中求线段长度的核心方法，通过作辅助线将未知线段转化，利用角平分线性质、全等三角形和勾股定理建立方程，是初中几何的典型题型，需熟练掌握方程思想和相关几何性质的应用。
【难度系数】
0.6