第33页

信息发布者：
$y=kx+b$
正比例
D
C
$k≠1$
$-1$
$2$
$y=\begin{cases}2x(0≤ x≤ 14),\\3.5x-21(x>14)\end{cases}$
解：
(1) 由题意可知，注水前蓄水池水位高度为5米，注水时水位每小时上升6米，因此蓄水池的水位高度$y$(米)与注水时间$x$(小时)之间的函数表达式为$y=6x+5。$
(2) 根据题意，得$4000(6x+5)×0.3=42000，$
解得$x=5。$
答：注水5小时可供发电42000千瓦时。
【分析】
本题考查一次函数的基本定义，解题思路是牢记一次函数的标准表达式形式，明确其表达式中常数的限制条件，直接对应题目要求填写正确的函数式即可。
【解析】
根据一次函数的定义：一般地，形如$y=kx+b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$）的函数叫作一次函数，因此空白处应填写该标准表达式。
【答案】
$y=kx+b$
【知识点】
一次函数的定义
【点评】
本题为基础概念识记题，直接考查一次函数的核心定义，难度极低，只要准确记忆概念就能快速作答，适合巩固函数类基础知识点。
【难度系数】
0.9
【分析】
这道题考查一次函数的特殊形式，解题思路是：先回忆一次函数的定义，明确一次函数的一般形式，再分析当其中参数b=0时对应的函数名称，从而得出答案。
【解析】
形如$y=kx+b$（k、b为常数，$k≠0$）的函数叫做一次函数；当$b=0$时，函数式简化为$y=kx$（k为常数，$k≠0$），这种形式的函数是一次函数的特殊类型，叫做正比例函数，因此此处应填正比例。
【答案】
正比例
【知识点】
一次函数、正比例函数
【点评】
本题是对一次函数特殊形式的基础概念考查，属于识记类题目，只要牢记一次函数与正比例函数的定义即可快速解答，难度较低。
【难度系数】
0.9
【分析】要判断y是否是关于x的正比例函数，需先明确正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做正比例函数，其核心特征为：①表达式为整式；②$x$的次数为1；③无常数项；④比例系数$k≠0$。接下来逐一分析各选项是否符合该定义。
【解析】根据正比例函数的定义逐一判断选项：
选项A：$y=3x+1$含有常数项1，不符合正比例函数无常数项的特征，属于一次函数，不是正比例函数；
选项B：$y=3x^2$中$x$的次数为2，属于二次函数，不符合正比例函数$x$次数为1的要求；
选项C：$y=\frac{3}{x}$是分式形式，属于反比例函数，不符合正比例函数为整式的特征；
选项D：$y=\frac{x}{3}$可变形为$y=\frac{1}{3}x$，符合$y=kx$（$k=\frac{1}{3}≠0$）的形式，是正比例函数。
【答案】D
【知识点】正比例函数的定义，函数类型识别
【点评】本题考查正比例函数的基础定义，属于概念类基础题，需准确区分正比例函数与一次函数、二次函数、反比例函数的差异，是初中函数模块的核心基础知识点。
【难度系数】0.8
【分析】
要解决这道题，需先明确一次函数和正比例函数的定义：一次函数的形式为$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）；当一次函数中的$b=0$时，函数变为$y=kx$（$k≠0$），这就是正比例函数，即正比例函数是特殊的一次函数。接下来逐个分析选项，判断每个函数是否符合对应定义。
【解析】
1. 分析选项A：$y=2x$，符合$y=kx$（$k=2≠0$），是正比例函数；同时它满足一次函数$y=kx+b$中$b=0$的情况，也是一次函数，故A错误。
2. 分析选项B：将$y=\dfrac{x-1}{2}$化简为$y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$，符合一次函数$y=kx+b$（$k=\dfrac{1}{2}≠0$，$b=-\dfrac{1}{2}$）的形式，是一次函数，故B错误。
3. 分析选项C：$y=-\dfrac{1}{9}x$，符合正比例函数$y=kx$（$k=-\dfrac{1}{9}≠0$）的形式，且属于一次函数，故C正确。
4. 分析选项D：将$y=10(x+3)$展开为$y=10x+3$，符合一次函数形式，但$b=3≠0$，不是正比例函数，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的定义、正比例函数的定义
【点评】
本题考查一次函数与正比例函数的概念，核心是明确两者的关系（正比例函数是特殊的一次函数），需准确化简函数形式并对照定义判断，属于基础概念题，难度较低。
【难度系数】
0.8
【分析】要解决这个问题，需明确一次函数和正比例函数的定义：一次函数的一般形式为$y=ax+b$（$a≠0$，$a$、$b$为常数），正比例函数是特殊的一次函数，形式为$y=ax$（$a≠0$，$a$为常数），即除满足一次函数的条件外，常数项需为0。首先根据一次函数定义，让$x$的系数不为0，求出$k$的范围；再根据正比例函数定义，同时满足$x$的系数不为0和常数项为0，求出对应的$k$值。
【解析】
1. 若函数$y=(k - 1)x + k^2 - 1$是一次函数，则一次项系数不能为0，即：
$k - 1≠0$，解得$k≠1$。
2. 若函数是正比例函数，则需同时满足两个条件：一次项系数不为0，且常数项为0，即：
$\begin{cases}k - 1≠0 \\ k^2 - 1 = 0\end{cases}$
解$k^2 -1=0$得$k=1$或$k=-1$，结合$k -1≠0$（即$k≠1$），所以$k=-1$。
【答案】$k≠1$；$-1$
【知识点】一次函数的定义、正比例函数的定义
【点评】本题考查一次函数与正比例函数的定义，属于基础题型，解题关键是牢记两类函数的形式，尤其要注意一次函数中$x$的系数不能为0，正比例函数需同时满足系数不为0且常数项为0，避免因忽略系数条件而出错。
【难度系数】0.7
【分析】要确定使函数为一次函数的m值，需依据一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k≠0$，$k、b$为常数）的函数，其中自变量$x$的次数为1，且$x$的系数不能为0。因此需同时满足两个条件：一是$x$的指数等于1，二是$x$的系数不为0，据此求解并筛选符合条件的$m$。
【解析】根据一次函数的定义，需满足：
1. 自变量$x$的次数为1，即$m^2 - 3 = 1$，解方程得$m^2 = 4$，所以$m = 2$或$m = -2$；
2. $x$的系数不为0，即$m + 2 ≠ 0$，解得$m ≠ -2$；
综合两个条件，排除$m = -2$，故$m = 2$。
【答案】2
【知识点】一次函数的定义
【点评】本题考查一次函数的定义，属于基础题，核心是牢记一次函数的两个关键条件：自变量次数为1、系数不为0，需注意排除系数为0的特殊情况，避免漏解或错解。
【难度系数】0.5
【分析】
本题是分段函数在实际生活中的应用问题，解题思路是根据用水量是否超过14立方米分两种情况讨论：当用水量不超过14立方米时，水费按每立方米2元计算；当用水量超过14立方米时，水费分为两部分，14立方米按2元收费，超过部分按每立方米3.5元收费，分别计算两种情况的水费表达式，再整合为分段函数即可。
【解析】
分两种情况讨论应缴水费$y$与用水量$x$的关系：
1. 当$0 ≤ x ≤ 14$时，每立方米水费为2元，因此总水费$y = 2x$；
2. 当$x ＞ 14$时，14立方米的水费为$14 × 2 = 28$元，超过14立方米的部分为$(x - 14)$立方米，这部分水费为$3.5(x - 14)$元，因此总水费$y = 28 + 3.5(x - 14)$，化简得：
$y = 28 + 3.5x - 49 = 3.5x - 21$。
综上，应缴水费$y$与每月用水量$x$之间的函数表达式为分段函数：
$y=\begin{cases}2x(0≤ x≤ 14),\\3.5x-21(x＞14)\end{cases}$
【答案】
$y=\begin{cases}2x(0≤ x≤ 14),\\3.5x-21(x＞14)\end{cases}$
【知识点】
分段函数的应用，一次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活中的水费收费制度考查分段函数的应用，核心是根据不同收费标准分情况计算费用，计算时需注意超过部分的费用计算，是初中数学中一次函数实际应用的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
【分析】
要解决本题，需分两小问逐步分析：
1. 第（1）问：水位高度随注水时间呈线性变化，初始水位为5米，每小时上升6米，属于一次函数模型，需明确初始值与变化率，推导函数表达式。
2. 第（2）问：利用“总发电量=每立方米发电量×总水量”的等量关系，总水量为底面积乘以对应水位高度，结合第（1）问的函数表达式列方程，求解注水时间。
【解析】
（1）已知注水前水位高度为5米，注水时水位每小时上升6米，因此水位高度$y$（米）与注水时间$x$（小时）的函数表达式为：$y=6x+5$。
（2）根据题意，总发电量等于每立方米发电量乘以总水量，总水量=蓄水池底面积×水位高度，据此列方程：
$4000(6x+5)×0.3=42000$
化简方程：左边系数计算得$4000×0.3=1200$，方程变为$1200(6x+5)=42000$，两边同除以1200得$6x+5=35$，移项得$6x=30$，解得$x=5$。
答：注水5小时可供发电42000千瓦时。
【答案】
(1) $y=6x+5$；(2) 注水5小时可供发电42000千瓦时
【知识点】
一次函数的应用，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合实际能源转型场景，考查一次函数与一元一次方程的基础应用，核心是理解题意中的数量关系，难度适中，属于基础应用题，能有效检验学生对函数和方程的实际运用能力。
【难度系数】
0.7
上一页 下一页