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待定系数法
A
C
$y=7.5x+0.5$
3
解：
(1) 设$y_1=k_1x(k_1≠0)，$$y_2=k_2(x+2)(k_2≠0)，$
则$y=y_2-y_1=k_2(x+2)-k_1x，$即$y=(k_2-k_1)x+2k_2。$
由题意，将两组对应值代入得方程组：
$\begin{cases}(k_2-k_1)+2k_2=2 \\ 2(k_2-k_1)+2k_2=10 \end{cases}$
解得
$\begin{cases} k_1=-\frac{1}{3} \\ k_2=\frac{7}{3} \end{cases}$
因此$y$与$x$之间的函数表达式为$y=\frac{8}{3}x+\frac{14}{3}。$
(2) 在$y=\frac{8}{3}x+\frac{14}{3}$中，令$y=30，$得
$\frac{8}{3}x+\frac{14}{3}=30$
解得$x=\frac{19}{2}。$
【分析】
本题为数学概念识记类题目，需根据题干描述的操作流程匹配对应的数学术语。题干明确了操作步骤：先设含未知系数的函数表达式，再通过条件求系数确定函数式，需回忆该方法的名称。
【解析】
数学中，确定函数表达式的一种常用方法是：先假设含有未知系数的函数形式，再将已知条件代入，求解出未知系数的值，从而得到具体的函数表达式，这种方法被定义为待定系数法，与题干描述完全一致。
【答案】
待定系数法
【知识点】
待定系数法
【点评】
本题为基础概念题，侧重对数学方法定义的识记，难度较低，适合作为函数章节的入门概念考查。
【难度系数】
0.8
【分析】
要确定一次函数$y=kx+b$的表达式，需先求出系数$k$和$b$的值，利用已知的两组$x$、$y$对应值，代入表达式可得到关于$k$、$b$的方程组，解方程组即可求出$k$、$b$，进而确定函数表达式，最后匹配选项。
【解析】
已知一次函数$y=kx+b$，将$x=0$，$y=3$代入表达式：
$3 = k×0 + b$，解得$b=3$；
再将$x=2$，$y=0$，$b=3$代入表达式：
$0 = 2k + 3$，解得$k = -\frac{3}{2}$；
因此该一次函数的表达式为$y = -\frac{3}{2}x + 3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式、一次函数表达式
【点评】
本题考查待定系数法求一次函数解析式，属于基础题型，解题思路清晰，步骤简单，是一次函数的核心基础考点。
【难度系数】
0.8
【分析】
首先，题目明确累计产量$y$是采摘时间$t$的一次函数，因此需先设出一次函数解析式，再利用已知的两组$t$和$y$的值，通过待定系数法求出解析式的系数，最后将$t=40$代入解析式计算对应产量，即可得出答案。
【解析】
设一次函数解析式为 $ y = kt + b $（$ k ≠ 0 $），
将 $ t=20 $，$ y=1000 $ 代入得：$ 20k + b = 1000 $ ①，
将 $ t=50 $，$ y=1900 $ 代入得：$ 50k + b = 1900 $ ②，
用② - ①消去$b$：$ 30k = 900 $，解得 $ k = 30 $，
将 $ k=30 $ 代入①式：$ 20×30 + b = 1000 $，解得 $ b = 400 $，
因此一次函数解析式为 $ y = 30t + 400 $，
当 $ t=40 $ 时，$ y = 30×40 + 400 = 1600 $（千克），
所以答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数应用；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，核心考查待定系数法求函数解析式及代入求值，解题思路清晰、步骤明确，属于常见的基础题型，只要掌握一次函数的基本性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.6
【分析】
题目说明体长$ y $是尾长$ x $的一次函数，因此先设一次函数的一般形式$ y = kx + b $（$ k ≠ 0 $），再从表格中选取两组对应的$ x $、$ y $值代入，得到关于$ k $、$ b $的二元一次方程组，解方程组求出$ k $和$ b $，即可确定函数表达式。
【解析】
设$ y $与$ x $的一次函数表达式为$ y = kx + b $（$ k ≠ 0 $）。
选取表格中两组对应值：当$ x = 6 $时，$ y = 45.5 $；当$ x = 8 $时，$ y = 60.5 $，代入表达式得：
$\begin{cases}6k + b = 45.5 \\8k + b = 60.5\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去$ b $：
$ 2k = 15 $，解得$ k = 7.5 $。
将$ k = 7.5 $代入$ 6k + b = 45.5 $，得：
$ 6 × 7.5 + b = 45.5 $，解得$ b = 0.5 $。
因此，$ y $与$ x $的函数表达式为$ y = 7.5x + 0.5 $。
【答案】
$ y = 7.5x + 0.5 $
【知识点】
一次函数表达式、待定系数法求解析式
【点评】
本题是基础题，利用待定系数法求一次函数解析式，步骤清晰，计算简单，属于学生易掌握的题型。
【难度系数】
0.8
【分析】要计算$\frac{n}{m}$的值，需先求出一次函数$y=mx+n$中$m$和$n$的值。根据一次函数图象上的点满足函数解析式，将已知的两组$x$、$y$值代入函数式，得到关于$m$、$n$的二元一次方程组，解方程组得到$m$、$n$后，即可计算比值。
【解析】将$x=1$，$y=4$代入$y=mx+n$，得：$m + n = 4$；
将$x=-1$，$y=2$代入$y=mx+n$，得：$-m + n = 2$；
联立方程组$\begin{cases}m + n = 4 \\ -m + n = 2\end{cases}$，
两式相加得：$2n = 6$，解得$n=3$；
将$n=3$代入$m + n = 4$，得$m=4 - 3 = 1$；
所以$\frac{n}{m} = \frac{3}{1} = 3$。
【答案】3
【知识点】一次函数解析式、二元一次方程组、代数式求值
【点评】本题是一次函数的基础应用题，核心是利用函数上的点满足解析式建立方程组求解，步骤清晰，难度较低，适合巩固一次函数的基本知识点。
【难度系数】0.8
【分析】
要解决本题，需先根据正比例函数的定义设出$y_1$、$y_2$的表达式，结合$y=y_2-y_1$得到$y$关于$x$的一次函数形式；再将已知的两组$x$、$y$值代入表达式，通过解二元一次方程组求出未知系数，得到$y$与$x$的函数表达式；最后将$y=30$代入表达式，求解对应的$x$值。
【解析】
（1）因为$y_1$与$x$成正比例，设$y_1=k_1x(k_1≠0)$；$y_2$与$x+2$成正比例，设$y_2=k_2(x+2)(k_2≠0)$。
由$y=y_2-y_1$，可得：
$y=k_2(x+2)-k_1x=(k_2-k_1)x+2k_2$。
将$x=-1$时$y=2$、$x=2$时$y=10$代入上式，得到方程组：
$\begin{cases} -(k_2-k_1)+2k_2=2 \\ 2(k_2-k_1)+2k_2=10 \end{cases}$
化简方程组：
第一个方程：$k_1 + k_2=2$；
第二个方程：$4k_2 -2k_1=10$，即$2k_2 -k_1=5$；
联立求解：两式相加得$3k_2=7$，解得$k_2=\frac{7}{3}$，代入$k_1 + k_2=2$得$k_1=-\frac{1}{3}$。
因此，$y=(\frac{7}{3}-(-\frac{1}{3}))x +2×\frac{7}{3}=\frac{8}{3}x+\frac{14}{3}$。
（2）当$y=30$时，代入$y=\frac{8}{3}x+\frac{14}{3}$，得：
$\frac{8}{3}x+\frac{14}{3}=30$，两边同乘3得$8x+14=90$，解得$x=\frac{19}{2}$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{8}{3}x+\dfrac{14}{3}$；(2) $x=\dfrac{19}{2}$
【知识点】
正比例函数、一次函数解析式、函数值求解
【点评】
本题考查正比例函数的定义及待定系数法求一次函数解析式，属于基础题型，解题关键是正确设出正比例函数表达式，代入已知条件建立方程组求解，步骤清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
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