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10
答案不唯一，如OA=OC
$130°$
$90°$
$22°$或$68°$
3
8
6
①②④
$87°$
【分析】
本题需分情况讨论等腰三角形的腰长，同时结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断能否构成三角形，再计算周长。首先考虑腰长为2cm的情况，验证三边是否符合要求；再考虑腰长为4cm的情况，确定有效组合后计算周长。
【解析】
分两种情况讨论：
① 若腰长为2cm，则三边长为2cm、2cm、4cm。
因为2 + 2 = 4，不满足三角形任意两边之和大于第三边，无法构成三角形，此情况舍去；
② 若腰长为4cm，则三边长为4cm、4cm、2cm。
因为4 + 2 ＞ 4，4 + 4 ＞ 2，满足三角形三边关系，可构成三角形。
此时周长为4 + 4 + 2 = 10（cm）。
【答案】
10
【知识点】
等腰三角形性质、三角形三边关系
【点评】
本题考查等腰三角形的性质与三角形三边关系，核心是分情况讨论后需验证三边是否符合要求，是易忽略三边关系的基础题。
【难度系数】
0.5
【分析】要使△AOB≌△COD，已知OB=OD，且AC、BD相交于点O，可得∠AOB与∠COD是对顶角，即∠AOB=∠COD。根据全等三角形的判定定理，已知一组边相等和一组角相等，只需再添加一组边相等（利用SAS）或一组角相等（利用ASA/AAS），即可证明两三角形全等，本题答案不唯一。
【解析】在△AOB和△COD中，已知OB=OD，∠AOB=∠COD（对顶角相等）。若添加条件OA=OC，则满足两边及其夹角对应相等，根据SAS判定定理，可得出△AOB≌△COD；也可添加∠A=∠C（AAS）或∠B=∠D（ASA）等，均能证明两三角形全等。
【答案】OA=OC（答案不唯一）
【知识点】全等三角形判定、对顶角性质
【点评】本题是全等三角形判定的基础题，重点考查学生对SAS、ASA、AAS等判定定理的掌握，答案不唯一，能锻炼学生的发散思维，难度适中。
【难度系数】0.6
【分析】要计算∠D的度数，观察图形可知△ABC和△ADC共享边AC，结合已知AB=AD、BC=DC，可通过全等三角形的判定定理证明两三角形全等，再利用全等三角形对应角相等的性质，就能得到∠D与∠B的关系，进而求出∠D的度数。
【解析】在△ABC和△ADC中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD,\\BC=DC,\\AC=AC,\end{array} $
根据“边边边（SSS）”全等判定定理，可得$△ ABC≌△ ADC$。
根据全等三角形的对应角相等，所以$∠ D = ∠ B$。
已知$∠ B=130°$，因此$∠ D=130°$。
【答案】130°
【知识点】全等三角形的判定（SSS）、全等三角形的性质
【点评】本题是基础题型，考查全等三角形的判定与性质，解题核心是用SSS证明两三角形全等，再利用对应角相等得出结果，难度较低，学生易掌握。
【难度系数】0.7
【分析】首先观察图形，可知AC⊥BF，DE⊥BF，因此△ABC和△DEF均为直角三角形。已知两个滑梯长度相等（斜边BC=EF），且左边滑梯高度AC与右边滑梯水平长度DF相等（直角边AC=DF），可利用直角三角形全等的HL定理证明两三角形全等，再结合直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠B+∠F的度数。
【解析】
∵ AC⊥BF，DE⊥BF，
∴ ∠BAC = ∠EDF = 90°，
∴ △ABC和△DEF都是直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
$\{\begin{array}{l}BC = EF \\AC = DF\end{array} $
∴ Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL），
∴ ∠B = ∠DEF。
在Rt△DEF中，∠DEF + ∠F = 90°，
∴ ∠B + ∠F = 90°。
【答案】90°
【知识点】直角三角形全等判定，直角三角形性质
【点评】本题是直角三角形全等的典型应用，通过HL定理证明全等后结合直角三角形锐角互余的性质求解，思路清晰，属于基础几何题，考查学生对直角三角形全等判定的掌握情况。
【难度系数】0.6
【分析】
要解决这个问题，需注意等腰三角形的高的位置存在两种情况：当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部；当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部。需分情况讨论顶角的度数，再结合三角形内角和定理计算底角。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部。
已知一腰上的高与另一腰的夹角为46°，在由高、腰组成的直角三角形中，顶角 = 90° - 46° = 44°。
根据等腰三角形两底角相等，底角 = (180° - 44°) ÷ 2 = 68°。
2. 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部。
已知一腰上的高与另一腰的夹角为46°，在由高、腰的延长线组成的直角三角形中，顶角的外角 = 90° - 46° = 44°，因此顶角 = 180° - 44° = 136°。
底角 = (180° - 136°) ÷ 2 = 22°。
综上，这个等腰三角形的底角为22°或68°。
【答案】
22°或68°
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和、三角形的高
【点评】
本题需运用分类讨论思想，考虑等腰三角形高的两种位置，避免漏解，是等腰三角形角度计算的典型题型，考察学生的逻辑严谨性。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决这个问题，需结合三角形中线的定义、折叠的性质以及等边三角形的判定来推导。首先利用中线得到BD=DC，再通过折叠的性质得到DC=DC'和∠ADC=∠ADC'，进而推出∠BDC'的度数，最后根据边和角的关系判定△BDC'为等边三角形，从而求出BC'的长度。
【解析】
1. 因为AD是△ABC的中线，根据三角形中线的定义，可得BD = DC = $\frac{1}{2}BC$。已知BC=6，所以BD = DC = $\frac{1}{2}×6 = 3$。
2. 由折叠的性质可知，折叠前后对应边相等、对应角相等，因此DC = DC'，∠ADC = ∠ADC' = 60°。
3. 计算∠BDC'的度数：∠BDC' = 180° - ∠ADC - ∠ADC' = 180° - 60° - 60° = 60°。
4. 结合上述结论，BD = DC = DC'，即BD = DC' = 3，又因为∠BDC' = 60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，可判定△BDC'是等边三角形，因此BC' = BD = 3。
【答案】
3
【知识点】
折叠的性质、等边三角形的判定、三角形中线
【点评】
本题以三角形折叠为背景，结合中线性质考查等边三角形的判定与计算，属于基础几何题，重点考查对折叠性质和等边三角形判定定理的掌握，解题思路清晰，步骤明确。
【难度系数】
0.6
【分析】
首先根据尺规作图痕迹判断AF是∠BAC的角平分线，利用角平分线的性质和全等三角形的判定得到AC=AG、FC=FG；再结合△ABC是等腰直角三角形的性质，将△BFG的周长转化为AB的长度，从而求出结果。
【解析】
1. 由尺规作图可知，AF平分∠BAC，故∠CAF=∠GAF。
2. 因为∠C=90°，FG⊥AB，所以∠AGF=∠C=90°。
3. 在△ACF和△AGF中：
$\{\begin{array}{l} ∠CAF=∠GAF \\ ∠C=∠AGF \\ AF=AF \end{array} $
所以△ACF≌△AGF（AAS），因此AC=AG，FC=FG。
4. 已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，所以AC=BC，进而AG=BC。
5. △BFG的周长为$BF + FG + BG$，由于$FG=FC$，则$BF + FG = BF + FC = BC$，因此周长$= BC + BG$。
6. 又因为$AG + BG = AB$，且$AG=BC$，所以$BC + BG = AG + BG = AB = 8\ \mathrm{cm}$，即△BFG的周长为8cm。
【答案】
8
【知识点】
角平分线性质；全等三角形判定；等腰直角三角形性质
【点评】
本题综合考查角平分线性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，关键在于利用角平分线性质转化线段，将所求周长转化为已知线段AB的长度，解题思路清晰，需掌握相关几何定理的应用。
【难度系数】
0.5
【分析】
首先，由AB=AC、∠A=120°，可求出等腰△ABC的底角∠C=30°；根据D是AC中点且ED⊥AC，可知ED是AC的垂直平分线，利用垂直平分线性质得EA=EC，进而推出∠EAC=∠C=30°；再结合∠BAE=∠BAC-∠EAC=90°，在两个直角三角形（Rt△DEC和Rt△BAE）中，利用30°角对应的直角边是斜边一半的性质，分别求出EC和BE的长度，最后相加得到BC的长。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴△ABC为等腰三角形，∠B=∠C=(180°-120°)÷2=30°。
∵D是AC的中点，且ED⊥AC，
∴ED是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C=30°，
∴∠BAE=∠BAC - ∠EAC=120°-30°=90°。
在Rt△DEC中，∠C=30°，DE=1，
∴EC=2DE=2×1=2，
∴EA=EC=2。
在Rt△BAE中，∠B=30°，EA=2，
∴BE=2EA=2×2=4，
∴BC=BE + EC=4+2=6。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形性质、垂直平分线性质、直角三角形30°角性质
【点评】
本题综合运用等腰三角形、垂直平分线及直角三角形的核心性质，解题关键是通过垂直平分线转化线段关系，再结合30°直角三角形的边的关系逐步推导，逻辑清晰，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.4
【分析】
这是一道几何综合题，核心是利用全等三角形的性质推导结论。解题思路如下：1. 先通过角的和差关系得到相等角，结合已知边相等，用SAS证明△OAC与△OBD全等，得到AC=BD，判断①；2. 利用全等对应角相等和三角形外角性质，推出∠AMB等于已知的∠AOB，判断②；3. 作辅助线构造直角三角形，通过两次全等得到点O到AC、BD的距离相等，依据角平分线的判定定理，证明OM平分∠BMC，判断④；4. 用反证法假设OM平分∠BOC，推出与已知OA＞OC矛盾，排除③，最终确定正确结论。
【解析】
1. 证明①：
∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，即∠AOC=∠BOD。在△OAC和△OBD中，$\{\begin{array}{l} OA=OB \\ ∠AOC=∠BOD \\ OC=OD \end{array} $，
∴△OAC≌△OBD（SAS），
∴AC=BD，故①正确。
2. 证明②：由△OAC≌△OBD得∠OAC=∠OBD。根据三角形外角性质，∠AMB + ∠OAC = ∠AOB + ∠OBD，两边同时减去∠OAC和∠OBD，得∠AMB=∠AOB=40°，故②正确。
3. 证明④：过点O作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，则∠OGC=∠OHD=90°。在△OCG和△ODH中，$\{\begin{array}{l} ∠OGC=∠OHD \\ ∠OCG=∠ODH \\ OC=OD \end{array} $，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG=OH。在Rt△OGM和Rt△OHM中，$\{\begin{array}{l} OM=OM \\ OG=OH \end{array} $，
∴Rt△OGM≌Rt△OHM（HL），
∴∠GMO=∠HMO，即MO平分∠BMC，故④正确。
4. 排除③：假设OM平分∠BOC，则∠COM=∠BOM。在△OCM和△OBM中，$\{\begin{array}{l} ∠COM=∠BOM \\ OM=OM \\ ∠CMO=∠BMO \end{array} $，
∴△OCM≌△OBM（ASA），
∴OC=OB。又OA=OB，故OA=OC，与已知OA＞OC矛盾，假设不成立，故③错误。
综上，正确结论为①②④。
【答案】①②④

【知识点】全等三角形的判定与性质，角平分线的判定
【点评】本题综合运用全等三角形的判定与性质、角平分线的判定，辅助线的构造是解题关键，反证法帮助快速排除错误选项，考查学生的几何推理能力，难度适中。
【难度系数】0.5
【分析】
要解决这个问题，核心是利用已知条件$AB+BD=CD$构造辅助线，将线段和转化为相等线段，结合$AD⊥BC$的条件推导等腰三角形，进而计算角度。具体思路：延长$DB$到$E$使$BE=AB$，把$AB+BD$转化为$DE$，结合已知得$DE=CD$；再由$AD⊥BC$推出$AD$是$CE$的垂直平分线，得到$AC=AE$，进而利用等腰三角形性质和三角形内角和求出$∠ BAC$。
【解析】
1. 延长$DB$至点$E$，使$BE=AB$，连接$AE$。
因为$BE=AB$，所以$△ ABE$为等腰三角形，故$∠ E=∠ BAE$。
根据三角形外角性质：$∠ ABC=∠ E+∠ BAE=2∠ E$，已知$∠ B=62°$，因此$2∠ E=62°$，解得$∠ E=31°$。
2. 由已知$AB+BD=CD$，结合$BE=AB$，可得$BE+BD=CD$，即$DE=CD$。
3. 因为$AD⊥BC$，且$DE=CD$，所以$AD$垂直平分线段$CE$。根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，故$AC=AE$。
4. 由$AC=AE$，$△ ACE$为等腰三角形，因此$∠ C=∠ E=31°$。
5. 根据三角形内角和定理，$△ ABC$中：$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ C=180°-62°-31°=87°$。
【答案】
$87°$
【知识点】
等腰三角形性质、垂直平分线性质、三角形内角和定理
【点评】
本题通过构造辅助线将线段和转化为相等线段，结合垂直平分线性质简化角度计算，重点考查几何辅助线的构造能力和相关定理的应用，需要学生具备图形转化的思维。
【难度系数】
0.4
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