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【分析】
要证明$AC⊥DE$，需证明它们的夹角为直角，即$∠ EOC=90°$。首先观察到$△ ABC$和$△ ECD$都是直角三角形，已知斜边和一组直角边对应相等，可通过HL定理证明两三角形全等；再利用全等三角形的对应角相等，结合直角三角形两锐角互余的性质，推导得出$∠ EOC=90°$，即可完成证明。
【解析】
设$AC$与$DE$交于点$O$。
$\because AB⊥BC$，$DC⊥BC$，
$\therefore ∠ B=∠ ECD=90°$，即$△ ABC$和$△ ECD$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ ECD$中，
$\begin{cases} AC=ED \\ AB=EC \end{cases}$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ ECD(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ A=∠ DEC$。
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，
$\therefore ∠ A + ∠ BCA=90°$，
$\therefore ∠ DEC + ∠ BCA=90°$。
在$△ OEC$中，$∠ DEC + ∠ BCA + ∠ EOC=180°$，
$\therefore ∠ EOC=180° - (∠ DEC + ∠ BCA)=90°$，
$\therefore AC⊥DE$。
【答案】
设$AC$,$DE$交于点$O$.$\because AB⊥BC$,$DC⊥BC$,$\therefore ∠B=∠ECD=90°$.在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ ECD$中,$\begin{cases} AC=ED,\\ AB=EC, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ ECD(\mathrm{HL})$,$\therefore ∠A=∠DEC$.$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠B=90°$,$\therefore ∠A+∠BCA=90°$,$\therefore ∠DEC+∠BCA=90°$,$\therefore$ 在$△ OEC$中,$∠EOC=90°$,$\therefore AC⊥DE$
【知识点】
直角三角形全等判定(HL)，垂直的证明，直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，核心考查直角三角形全等的HL判定定理和直角三角形的性质，解题关键是通过全等转化角，再结合三角形内角和推导垂直关系，属于常规题型，需学生掌握基本的几何证明逻辑。
【难度系数】
0.5

【分析】
要证明AE=AD，可通过证明△ACE和△ABD全等实现。首先根据等腰三角形AB=AC的性质，得出两底角∠ABC=∠ACB；再结合角平分线定义，得到∠ABD=∠ACE；又有公共角∠A，利用ASA判定两个三角形全等，即可推出对应边AE=AD。
【解析】
证明：
∵ AB=AC（已知），
∴ ∠ABC=∠ACB（等腰三角形两底角相等）。
∵ BD，CE是△ABC的角平分线（已知），
∴ ∠ABD = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠ACE = $\frac{1}{2}$∠ACB（角平分线定义），
∴ ∠ABD = ∠ACE（等量代换）。
在△ACE和△ABD中：
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠A（公共角）,\\AC = AB（已知）,\\∠ACE = ∠ABD（已证）,\end{array} $
∴ △ACE ≌ △ABD（ASA），
∴ AE = AD（全等三角形对应边相等）。
【答案】
AE=AD
【知识点】
等腰三角形性质；全等三角形判定；角平分线定义
【点评】
本题综合考查等腰三角形性质、角平分线定义及全等三角形的判定与性质，属于基础几何证明题，核心是利用等腰三角形和角平分线得到等角，通过ASA证明三角形全等，进而得到线段相等，注重对基础定理的应用。
【难度系数】
0.6

【分析】要证明$CE=CM$，根据“等角对等边”的判定定理，需先证明$∠ MEC=∠ EMC$。首先利用直角三角形斜边中线的性质得到$CM=AM=BM$，进而推出相关角的关系；再结合三角形外角的性质，分别计算$∠ MEC$和$∠ EMC$的度数，若二者相等即可完成证明。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ACB$中，$∠ ACB=90°$，$M$为$AB$的中点，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$CM=AM=BM$，
$\therefore ∠ A = ∠ ACM$，$∠ B = ∠ MCB$。
已知$∠ A=50°$，则$∠ B = 90° - ∠ A = 40°$，
$\therefore ∠ MCB = ∠ B = 40°$，
$\therefore ∠ EMC = ∠ MCB + ∠ B = 40° + 40° = 80°$（三角形外角等于不相邻两内角之和）。
又$\because ∠ ACE=30°$，
$\therefore ∠ MEC = ∠ A + ∠ ACE = 50° + 30° = 80°$（三角形外角等于不相邻两内角之和）。
$\therefore ∠ MEC = ∠ EMC$，
根据“等角对等边”，可得$CE=CM$。
【答案】
$CE=CM$，证明成立。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，三角形外角性质，等腰三角形判定
【点评】
本题结合直角三角形的性质与三角形外角的性质，利用“等角对等边”证明线段相等，核心是通过角度计算得到相等的角，考查学生对基础几何性质的应用能力，属于中等难度的几何证明题。
【难度系数】
0.6