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$55°$
$90°$
4
13
$64°$
49.4
$a>b$
2
3
9
解：
(1) 根据平方根的定义，得$x+1=\pm\sqrt{25}，$即$x+1=\pm5$
当$x+1=5$时，解得$x=4$
当$x+1=-5$时，解得$x=-6$
∴ $x=4$或$x=-6$
(2) 对$-8(1-2x)^3+1=28$整理，得$-8(1-2x)^3=27，$即$(1-2x)^3=-\frac{27}{8}$
根据立方根的定义，得$1-2x=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}，$即$1-2x=-\frac{3}{2}$
移项计算得$2x=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$
∴ $x=\frac{5}{4}$
【分析】
要解决这个问题，需结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理：等腰三角形的两个底角相等，任意三角形的内角和为180°。已知顶角的度数，用三角形内角和减去顶角的度数，得到两个底角的和，再除以2就能求出单个底角的度数。
【解析】
根据等腰三角形两底角相等，以及三角形内角和为180°，计算底角度数：
$\frac{180° - 70°}{2} = 55°$
【答案】
55°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题型，考查等腰三角形内角的计算，核心是运用等腰三角形两底角相等和三角形内角和的性质，解题思路直接，适合巩固基础。
【难度系数】
0.9
【分析】
首先设每个小正方形的边长为1，确定三角形三个顶点在网格中的位置，利用勾股定理计算三角形的三边长度，通过三边关系判断该三角形为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，两个锐角互余，即可得出α与β的和。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算三角形三边长度：
1. 左上顶点到左下顶点的距离：$\sqrt{(1-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{5}$；
2. 左下顶点到右侧顶点的距离：$\sqrt{(3-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{5}$；
3. 左上顶点到右侧顶点的距离：$\sqrt{(3-0)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{10}$；
因为 $(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 = 5 + 5 = 10 = (\sqrt{10})^2$，所以该三角形是等腰直角三角形，其两个锐角α和β互余，因此$α + β = 90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
勾股定理，等腰直角三角形性质
【点评】
本题借助网格考查勾股定理的应用，核心是通过计算边长判断三角形为等腰直角三角形，进而利用其性质求角度和，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.5
【分析】
要计算DE的长度，首先观察图形可知AD⊥BC，因此△ADB是直角三角形；E是斜边AB的中点，可利用直角三角形的核心性质——斜边中线定理来求解，该定理指出直角三角形斜边的中线长度等于斜边长度的一半，据此即可算出DE的长。
【解析】
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB = 90°，即△ADB是直角三角形。
又
∵ E是AB的中点，根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
∴ DE = $\frac{1}{2}$AB。
已知AB = 8 m，代入得：DE = $\frac{1}{2}$×8 = 4 m。
【答案】
4
【知识点】
直角三角形斜边中线定理，线段中点
【点评】
本题考查直角三角形斜边中线的性质，属于基础题型，只需牢记相关定理即可快速完成计算，难度较低。
【难度系数】
0.7
【分析】
要计算△ABD的周长，需利用DE是BC垂直平分线的性质。根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得DB=DC。将△ABD的周长中的DB替换为DC，可转化为AB+AC，代入已知数值即可求出结果。
【解析】
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
△ABD的周长 = AB + AD + DB，
将DB替换为DC，可得：
△ABD的周长 = AB + AD + DC = AB + AC。
已知AB=5，AC=8，
∴△ABD的周长 = 5 + 8 = 13。
【答案】
13
【知识点】
垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题通过垂直平分线的性质转化线段，将所求周长简化为已知线段的和，是基础的几何计算题型，重点考查垂直平分线性质的应用。
【难度系数】
0.6
【分析】
要计算∠2的度数，需结合平行线的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和定理。首先利用邻补角关系求出∠BEF的度数，再根据AB//CD得到同位角相等，结合GE=GF确定等腰三角形的底角，最后用三角形内角和计算顶角∠2。
【解析】
解：
∵∠1与∠BEF是邻补角，
∴∠BEF = 180° - ∠1 = 180° - 122° = 58°。
又
∵AB//CD，直线MN截AB、CD，
∴∠BEF = ∠GFE（两直线平行，同位角相等），
∴∠GFE = 58°。
∵GE = GF，
∴△GEF是等腰三角形，∠GEF = ∠GFE = 58°，
根据三角形内角和为180°，
∴∠2 = 180° - ∠GEF - ∠GFE = 180° - 58° - 58° = 64°。
【答案】
64°
【知识点】
平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查平行线与等腰三角形的性质，关键是理清角之间的关系，先通过邻补角和平行线性质求出等腰三角形的底角，再用内角和求顶角，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
【分析】要对49.37精确到十分位取近似值，需遵循四舍五入规则：精确到十分位时，观察百分位上的数字，若百分位数字≥5则向十分位进1，若＜5则舍去百分位及后续数位的数。
【解析】精确到十分位，需查看49.37的百分位数字，百分位是7，7＞5，因此向十分位进1，十分位的3加1变为4，舍去百分位及后面的数，得到近似值49.4。
【答案】49.4
【知识点】近似数、四舍五入法
【点评】本题为基础的近似数取近似值题目，核心考查四舍五入法的应用，属于概念类简单题，学生易掌握。
【难度系数】0.9
【分析】要比较a、b的大小，需先根据立方根和平方根的定义分别求出a、b的值，再对两者进行大小比较。已知$\sqrt[3]{a}=1.2$，根据立方根定义可知a是1.2的三次方；已知$\sqrt{b}=1.2$，根据平方根定义可知b是1.2的平方，分别计算后比较结果即可。
【解析】解：根据立方根的定义，若$\sqrt[3]{a}=1.2$，则$a=1.2^3=1.2×1.2×1.2=1.728$；根据平方根的定义，若$\sqrt{b}=1.2$，则$b=1.2^2=1.2×1.2=1.44$。因为$1.728＞1.44$，所以$a＞b$。
【答案】$a＞b$
【知识点】立方根的定义、平方根的定义、数的大小比较
【点评】本题考查立方根与平方根的基本概念，属于基础题型，只要掌握相关定义即可快速求解，难度较低。
【难度系数】0.8
【分析】首先明确无理数的定义：无限不循环小数是无理数，有理数包括整数、分数（有限小数或无限循环小数）。接下来逐个判断给出的实数是否为无理数，统计符合条件的个数即可。
【解析】逐个分析各数：
$\frac{1}{2}$是分数，属于有理数；
$-2.25$是有限小数，属于有理数；
$3+π$中$π$是无限不循环小数，故$3+π$是无理数；
$6.\dot{2}\dot{3}$是无限循环小数，属于有理数；
$-\sqrt[3]{8}=-2$，是整数，属于有理数；
$2.010\ 010\ 001\ 000\ 01···$（相邻两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有2个。
【答案】2
【知识点】无理数的识别
【点评】本题考查无理数的概念，需牢记无理数的本质是无限不循环小数，常见类型有含$π$的数、开方开不尽的数、无限不循环的规律小数等，区分有理数与无理数是解题关键。
【难度系数】0.5
【分析】
要解决这个问题，需先利用三角形内角和求出∠A的度数，再结合角平分线的性质推导边的关系，最后根据角平分线的性质得到D到AB的距离等于DC，进而计算结果。具体步骤：1. 计算△ABC中∠A的度数；2. 利用BD平分∠ABC得到角的等量关系，推出AD=BD；3. 结合直角三角形中30°角的性质，建立DC与BD的关系，结合AC的长度求出DC；4. 根据角平分线的性质，确定D到AB的距离等于DC，得到答案。
【解析】
在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，根据三角形内角和为180°，得：
∠A = 180° - ∠C - ∠ABC = 180° - 90° - 60° = 30°。
因为BD平分∠ABC，所以∠DBC = ½∠ABC = ½×60° = 30°，因此∠A = ∠DBC = 30°，故AD = BD。
在Rt△BCD中，∠DBC=30°，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，得DC = ½BD，即BD = 2DC。
又因为AC = AD + DC，AD=BD=2DC，所以AC = 2DC + DC = 3DC。
已知AC=9，代入得3DC=9，解得DC=3。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，点D在BD上，DC⊥BC（∠C=90°），所以点D到AB的距离等于DC，即距离为3。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和
【点评】
本题考查角平分线的性质和直角三角形的性质，解题关键是利用角平分线性质转化距离，结合30°角的直角三角形的边的关系建立等式，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.6
【分析】首先，根据题意可知每次画出的线段长度均为1，形成的三角形均为等腰三角形。我们需要利用等腰三角形的性质和三角形外角定理，找出每次画线段时对应的角度变化规律，当角度达到或超过90°时无法再画出符合要求的线段，据此确定n的值。
【解析】
解：由题意，每次画出的线段长度为1，因此：
1. 第1条线段$AA_1$：$OA=AA_1=1$，$△ OAA_1$为等腰三角形，$∠ O=∠ AA_1O=9°$，根据三角形外角定理，$∠ A_1AA_2=∠ O+∠ AA_1O=9°+9°=18°$；
2. 第2条线段$A_1A_2$：$A_1A=A_1A_2=1$，$△ A_1A_2A$为等腰三角形，$∠ A_1AA_2=∠ A_1A_2A=18°$，同理可得下一个外角为$9°+18°=27°$；
……
以此类推，第n条线段对应的等腰三角形的底角为$9n°$。
当底角小于$90°$时才能继续画线段，即$9n＜90$，解得$n＜10$。
因为n为正整数，所以n的最大值为9，故$n=9$。
【答案】9
【知识点】等腰三角形性质、三角形外角定理
【点评】本题通过构造等腰三角形探究角度规律，关键在于发现每次画线段时角度增量为$9°$，需注意角度达到$90°$时无法继续作图，考查学生的逻辑推理与规律总结能力。
【难度系数】0.5
【分析】
本题考查利用平方根和立方根的定义求解方程，解题思路：对于形如$(a)^2=b$的方程，根据平方根“正数有两个互为相反数的平方根”的性质，直接开平方得到两个一元一次方程，求解即可；对于形如$(c)^3=d$的方程，先整理成该形式，再根据立方根“立方根唯一”的性质，开立方得到一元一次方程，进而求解。
【解析】
(1) 已知$(x+1)^2 = 25$，根据平方根的定义，一个数的平方等于25，则这个数为$\pm5$，因此：
$x+1 = 5$ 或 $x+1 = -5$
分别解一元一次方程：
当$x+1=5$时，$x=5-1=4$；
当$x+1=-5$时，$x=-5-1=-6$；
故$x=4$或$x=-6$。
(2) 已知$-8(1-2x)^3 + 1 = 28$，先移项整理：
$-8(1-2x)^3 = 28 - 1 = 27$
两边同时除以$-8$，得：
$(1-2x)^3 = -\frac{27}{8}$
根据立方根的定义，$-\frac{27}{8}$的立方根为$-\frac{3}{2}$，因此：
$1 - 2x = -\frac{3}{2}$
移项得：$-2x = -\frac{3}{2} - 1 = -\frac{5}{2}$
两边同时除以$-2$，得：
$x = \frac{5}{4}$。
【答案】
(1) $x=4$或$x=-6$；(2) $x=\frac{5}{4}$
【知识点】
平方根的应用、立方根的应用、解一元一次方程
【点评】
本题为基础题型，核心考查平方根与立方根的基本性质，解题关键是准确运用开平方、开立方的规则，注意平方根有两个解、立方根只有一个，计算时需留意符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.8
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