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解：
(1) $\because$ 四边形$ABCD$为长方形，
$\therefore ∠ ABC=90°。$
$\because AB=3，$$BC=4，$
$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5。$
显然当$x=\frac{1}{2}AC=2.5$时，点$E，$$F$重合。

如图①，当$0<x≤2.5$时，$AE=CF=x，$
此时$y=EF=AC-AE-CF=5-x-x=-2x+5；$
如图②，当$2.5<x<5$时，$AE=CF=x，$
此时$y=EF=AE+CF-AC=x+x-5=2x-5。$
综上所述，当$0<x≤2.5$时，$y=-2x+5；$当$2.5<x<5$时，$y=2x-5。$
(2) 函数图象如图所示。
函数的一条性质：当$0<x≤2.5$时，$y$随$x$的增大而减小；当$2.5<x<5$时，$y$随$x$的增大而增大（答案不唯一）。
240
7.5
解：
(1) 由题图可知，A，B两区相距150米，B，C两区相距90米，则A，C两区相距$150+90=240$米，机器人甲到达B区时所用时间为$150÷20=7.5$分钟，
$\therefore a=7.5。$
(2) 由图象可知，$F(15,90)。$
$\because$ 机器人乙到达B区时所用时间为$90÷10=9$分钟，
$\therefore E(9,0)。$
设线段$EF$所在直线对应的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)。$
将点$E，$$F$的坐标代入，得
$\begin{cases} 9k+b=0, \\ 15k+b=90, \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=15, \\ b=-135. \end{cases}$
$\therefore$ 线段$EF$所在直线对应的函数表达式为$y=15x-135。$
(3) 当$0≤ x≤7.5$时，由题意，得$20x+10x+30=240，$
解得$x=7。$
当$7.5<x<9$时，易知机器人甲、乙之间的距离小于30米。
当$9≤ x≤12$时，由题意，得$15x-135=30，$解得$x=11。$
当$12<x≤15$时，机器人甲的速度为$90÷(15-12)=30$米/分，由题意，得$15x-135-30(x-12)=30，$解得$x=13。$
综上所述，机器人乙行进的时间为7分钟或11分钟或13分钟时，机器人甲、乙相距30米。
7或11或13
【分析】
首先根据长方形的性质，△ABC是直角三角形，利用勾股定理求出对角线AC的长度为5；再根据AE=CF=x，结合E、F在AC上的位置，分两种情况讨论EF的长度：当E在AC中点左侧时，EF=AC - AE - CF；当E在AC中点右侧时，EF=AE + CF - AC，从而得到y关于x的分段函数；最后根据函数表达式画出图象，并总结函数性质。
【解析】
1. 计算AC的长度：
∵ 四边形ABCD为长方形，
∴ ∠ABC=90°，
又
∵ AB=3，BC=4，
∴ AC=√(AB²+BC²)=√(3²+4²)=5。
2. 分情况求y与x的函数关系：
① 当0＜x≤2.5时，点E、F分别在AC中点的两侧，此时EF=AC - AE - CF=5 - x - x=-2x+5；
② 当2.5＜x＜5时，点E、F在AC中点的同侧，此时EF=AE + CF - AC=x + x -5=2x -5。
3. 画函数图象：根据分段函数，当x=0时y=5，x=2.5时y=0，x=5时y=5，图象为V型，如图③所示；函数性质：当0＜x≤2.5时，y随x的增大而减小；当2.5＜x＜5时，y随x的增大而增大（答案不唯一）。
【答案】
(1) 当0＜x≤2.5时，y=-2x+5；当2.5＜x＜5时，y=2x-5；
(2) 函数图象如图③所示，函数的一条性质：当0＜x≤2.5时，y随x的增大而减小；

【知识点】
勾股定理、分段函数、一次函数
【点评】
本题结合长方形的几何性质，通过勾股定理建立线段长度关系，分情况讨论得到分段函数，考查了几何分析与函数建模的综合能力，是几何与函数结合的典型基础题。
【难度系数】
0.6
【分析】
首先观察图像，明确A到B的距离为150米，B到C的距离为90米，据此计算A、C两区的距离；a是机器人甲到达B区的时间，根据甲的速度和A到B的距离可求出a。求线段EF的函数表达式时，需先确定E、F两点的坐标，再用待定系数法求解。求两机器人相距30米的时间，需分阶段分析两机器人的运动状态，结合各阶段的距离关系列方程计算。
【解析】
(1) 由图像可知，A、B两区相距150米，B、C两区相距90米，因此A、C两区相距：$150 + 90 = 240$（米）。
机器人甲从A到B的速度为20米/分，到达B区的时间$a = 150 ÷ 20 = 7.5$（分钟）。
(2) 机器人乙从C到B的速度为10米/分，到达B区的时间为$90 ÷ 10 = 9$（分钟），故点E坐标为$(9, 0)$；由图像知点F坐标为$(15, 90)$。
设线段EF的函数表达式为$y = kx + b(k≠0)$，将$E(9,0)$、$F(15,90)$代入得：
$\begin{cases}9k + b = 0 \\15k + b = 90\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 15 \\b = -135\end{cases}$，因此线段EF的函数表达式为$y = 15x - 135$。
(3) 分情况讨论：
① 当$0 ≤ x ≤ 7.5$时，甲向B行进，乙向B行进，两人初始距离240米，相距30米时共走了$240 - 30 = 210$米，即$20x + 10x = 210$，解得$x = 7$；
② 当$7.5 ＜ x ＜ 9$时，甲在B区停留，乙未到B区，两人距离为$90 - 10x$，此区间内最大距离为15米，小于30米，无解；
③ 当$9 ≤ x ≤ 12$时，乙从B返回，甲在B区停留，令$15x - 135 = 30$，解得$x = 11$；
④ 当$12 ＜ x ≤15$时，甲从B向C行进的速度为$90 ÷ (15 -12)=30$米/分，令$15x -135 - 30(x -12)=30$，解得$x=13$。
综上，时间为7、11、13分钟。
【答案】
(1) 240；7.5 (2) $y=15x-135$ (3)7或11或13
【知识点】
一次函数应用，行程问题，分段函数
【点评】
本题结合机器人运动场景考查一次函数的实际应用，核心是分阶段分析两机器人的运动状态，理清各阶段的距离关系，需具备分段分析和方程求解的能力。
【难度系数】
0.5
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