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解：
$\because (x+1)^2=16$
$\therefore x+1=\pm4$
当$x+1=4$时，$x=3；$
当$x+1=-4$时，$x=-5。$
$\therefore x=3$或$x=-5。$
解：
原式$=5 - (-3) + \sqrt{\frac{1}{4}}$
$=5+3+\frac{1}{2}$
$=\frac{17}{2}。$
证明：
$\because$ 在$△ ABC$中，$∠ B=50°，$$∠ C=20°，$
$\therefore ∠ CAB=180°-∠ B-∠ C=110°。$
$\because AE⊥ BC，$
$\therefore ∠ AEC=90°，$
$\therefore ∠ DAF=∠ AEC+∠ C=110°，$
$\therefore ∠ DAF=∠ CAB。$
在$△ DAF$和$△ CAB$中，
$\begin{cases}AD=AC, \\∠ DAF=∠ CAB, \\AF=AB,\end{cases}$
$\therefore △ DAF≌△ CAB(\mathrm{SAS})，$
$\therefore DF=CB。$
【分析】
对于第(1)问，利用平方根的定义，一个数的平方等于16，则这个数为±4，据此将方程转化为两个一元一次方程求解；对于第(2)问，分别计算各项的算术平方根和立方根，再进行实数的加减运算即可。
【解析】
(1) 因为$(x + 1)^2 = 16$，根据平方根的定义，得$x + 1 = ±4$。
当$x + 1 = 4$时，解得$x = 3$；
当$x + 1 = -4$时，解得$x = -5$。
所以$x$的值为$3$或$-5$。
(2) 原式$=\sqrt{25} - \sqrt[3]{-27} + \sqrt{\frac{1}{4}}$
$=5 - (-3) + \frac{1}{2}$
$=5 + 3 + \frac{1}{2}$
$=8 + \frac{1}{2}$
$=\frac{17}{2}$。
【答案】
(1)$x=3$或$-5$；(2)$\frac{17}{2}$
【知识点】
平方根、立方根、实数的运算
【点评】
本题考查平方根的求解及根式的基本运算，属于基础题型，难度较低，只要掌握相关定义和运算法则即可正确解答。
【难度系数】
0.8
【分析】要证明DF=CB，可通过证明△DAF与△CAB全等实现。已知AD=AC、AF=AB，只需推导这两组边的夹角∠DAF和∠CAB相等即可。先利用三角形内角和算出∠CAB，再结合AE⊥BC的条件，通过三角形外角性质求出∠DAF，进而证明夹角相等，最后用SAS判定全等，即可得证。
【解析】在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠CAB = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 50° - 20° = 110°。
因为AE⊥BC，所以∠AEC=90°，根据三角形外角的性质，∠DAF是△AEC的外角，故：
∠DAF = ∠AEC + ∠C = 90° + 20° = 110°，
因此∠DAF = ∠CAB。
在△DAF和△CAB中：
$\begin{cases}AD = AC \\∠DAF = ∠CAB \\AF = AB\end{cases}$
所以△DAF≌△CAB（SAS），
根据全等三角形的对应边相等，可得DF=CB。
【答案】DF=CB
【知识点】三角形内角和，全等三角形判定（SAS），三角形外角性质
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，核心是推导对应角相等，需熟练运用三角形内角和、外角性质等知识，难度适中。
【难度系数】0.6
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