【分析】
(1) 思路：利用线段垂直平分线的性质得到AD=BD、AE=CE，结合已知条件通过等量代换得到AD²+AE²=DE²，根据勾股定理逆定理判断△ADE为直角三角形，再结合等腰三角形性质和三角形内角和定理推导∠BAC的度数。
(2) 思路：要证BC-AB=2AG，需转化线段关系。通过作辅助线构造全等三角形，利用角平分线性质、线段垂直平分线性质得到对应边相等，证明两次三角形全等，进而替换线段完成结论推导。
【解析】
(1) 解：
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B。
同理，点E在AC的垂直平分线上，
∴AE=CE，
∴∠CAE=∠C。
已知BD² + CE² = DE²，代入AD=BD、AE=CE得：AD² + AE² = DE²。
根据勾股定理的逆定理，△ADE是直角三角形，且∠DAE=90°。
在△ABC中，∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，而∠B + ∠C = ∠BAD + ∠CAE，
又
∵∠BAC = ∠BAD + ∠DAE + ∠CAE = (∠BAD + ∠CAE) + 90° = (∠B + ∠C) +90°，
将∠B + ∠C =180° - ∠BAC代入上式：
∠BAC = (180° - ∠BAC) +90°，
解得：2∠BAC=270°，
∴∠BAC=135°。
(2) 证明：如图，连接AF，FC，过点F作FM⊥BC于点M。
∵FG⊥BG，FM⊥BC，
∴∠G=∠BMF=90°。
∵BF平分∠ABC，
∴∠GBF=∠MBF。
在△BFG和△BFM中：
$\begin{cases}∠G=∠BMF \\∠GBF=∠MBF \\BF=BF\end{cases}$
∴△BFG≌△BFM（AAS），
∴BG=BM，FG=FM。
∵EF垂直平分AC，
∴FA=FC。
在Rt△AFG和Rt△CFM中：
$\begin{cases}FA=FC \\FG=FM\end{cases}$
∴Rt△AFG≌Rt△CFM（HL），
∴AG=CM。
∵BC=BM + CM，且BM=BG=AB + AG，AG=CM，
∴BC=AB + AG + AG = AB + 2AG，
∴BC - AB = 2AG。
【答案】
(1) $135°$
(2) 如图，连接 $AF$，$FC$，过点 $F$ 作 $FM⊥ BC$ 于点 $M$. $\because FG⊥ BG$，$FM⊥ BC$，$\therefore ∠ G=∠ BMF=90°$. $\because BF$ 平分 $∠ ABC$，$\therefore ∠ GBF=∠ MBF$. 在 $△ BFG$ 和 $△ BFM$ 中，$\begin{cases} ∠ G=∠ BMF, \\ ∠ GBF=∠ MBF, \\ BF=BF, \end{cases}$ $\therefore △ BFG≌△ BFM(\mathrm{AAS})$，$\therefore BG=BM$，$FG=FM$. $\because EF$ 垂直平分 $AC$，$\therefore FA=FC$. 在 $\mathrm{Rt}△ AFG$ 和 $\mathrm{Rt}△ CFM$ 中，$\begin{cases} FA=FC, \\ FG=FM, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ AFG≌\mathrm{Rt}△ CFM(\mathrm{HL})$，$\therefore AG=CM$. $\because BC=BM+CM$，$BM=BG=AB+AG$，$AG=CM$，$\therefore BC=AB+2AG$，$\therefore BC-AB=2AG$.
【知识点】
线段垂直平分线性质、全等三角形判定、角平分线性质
【点评】
本题综合考查线段垂直平分线、角平分线、全等三角形的性质与判定，以及勾股定理逆定理的应用，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形转化线段关系，对学生的逻辑推理能力要求较高。
【难度系数】
0.4
