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C
4
1
3
6
3
7或9
10
解：∵​$△ ABC$​为等边三角形，
∴​$AC=AB=10$​。
​$ $​当点​$M$​在​$AB$​的延长线上时，
∵​$AM=16，AB=10$​，
∴​$BM=6$​。

如图​$1$​，​$① $​当点​$N_1$​在​$AC$​的延长线上时，
∵​$CN_1=BM=6$​，
∴​$AN_1=AC+CN_1=10+6=16$​；
如图​$2$​，​$② $​当点​$N_2$​在​$AC$​边上时，
∵​$CN_2=BM=6$​，
∴​$AN_2=AC-CN_2=10-6=4$​。
​$ $​当点​$M$​在​$BA$​的延长线上时，
∵​$AB=10，AM=16$​，
∴​$BM=10+16=26$​。
​$ ③ $​当点​$N_3$​在​$AC$​的延长线上时，
∵​$CN_3=BM=26$​，
∴​$AN_3=AC+CN_3=10+26=36$​；
​$ ④ $​当点​$N_4$​在​$CA$​的延长线上时，
∵​$CN_4=BM=26$​，
∴​$AN_4=CN_4-CA=26-10=16$​。
综上所述，​$AN$​的长为​$4$​或​$16$​或​$36$​。
【分析】要判断将一个三角形剪开成两个三角形后不可能的情况，需结合三角形内角和为180°的性质，分析剪开后两个小三角形的角的关系：剪开的线段是两个小三角形的公共边，对应两个邻角之和为180°（平角）。逐一分析选项，重点验证是否存在矛盾情况。
【解析】根据三角形内角和为180°，将原三角形剪开为两个三角形时，公共边对应的两个邻角和为180°，因此两个小三角形的内角和总和为180°+180°=360°。
选项A：可能。例如，直角三角形斜边上的高将其分成两个直角三角形，符合要求。
选项B：可能。例如，钝角三角形中，从钝角顶点向对边取点连线，可使两个小三角形分别存在一个钝角，符合要求。
选项C：不可能。若两个小三角形都是锐角三角形，则每个小三角形的三个内角都小于90°，那么两个小三角形中，除公共边对应的两个角（和为180°）外，剩余四个角的和为360°-180°=180°；但每个小三角形的另外两个角都小于90°，则四个角的和应小于90°×2=180°，与总和180°矛盾，因此不可能都是锐角三角形。
选项D：可能。例如，钝角三角形沿锐角顶点到对边的线段剪开，可得到一个直角三角形和一个钝角三角形，符合要求。
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理，三角形的分类
【点评】本题考查三角形内角和的应用及三角形的分类，关键是通过内角和分析剪开后角的数量关系，排除不可能的情况，属于基础几何题。
【难度系数】0.5
【分析】首先明确等腰三角形（至少有两边相等的三角形）和等边三角形（三边都相等的三角形）的定义，再结合题目给出的边的相等关系，逐个找出图中的三角形，依据定义判断是否符合条件，统计对应数量。
【解析】根据题意，已知$AB=AC$，$AD=BD=DE=CE=AE$：
1. 等腰三角形判断：
$△ ABD$：$AD=BD$，满足两边相等，是等腰三角形；
$△ ADE$：$AD=AE=DE$，满足两边相等，是等腰三角形；
$△ AEC$：$AE=CE$，满足两边相等，是等腰三角形；
$△ ABC$：$AB=AC$，满足两边相等，是等腰三角形；
共4个等腰三角形。
2. 等边三角形判断：
$△ ADE$：$AD=AE=DE$，三边都相等，是等边三角形；
其他三角形不满足三边相等，故共1个等边三角形。
【答案】4；1
【知识点】等腰三角形、等边三角形
【点评】本题考查等腰三角形与等边三角形的定义，解题核心是根据边的相等关系逐一判断，需仔细排查避免漏数。
【难度系数】0.5
【分析】
要解决这道题，需明确三角形的构成条件：三个不共线的点可构成三角形。
（1）以AB为一边时，第三个顶点需从除A、B外的点中选取，且该点不能在直线AB上，据此数出符合条件的点的数量即可；
（2）以C为顶点时，另外两个顶点需从除C外的A、B、D、E四个点中选取任意两个不共线的点，通过组合计数或逐一列举的方式得到数量。
【解析】
（1）以AB为一边，可选的第三个顶点为E、D、C，这三个点均不在直线AB上，因此可画出的三角形有△ABE、△ABD、△ABC，共3个；
（2）以C为顶点，从A、B、D、E四个点中选两个点，组合数为$\mathrm{C}_4^2=\frac{4×3}{2}=6$，对应的三角形为△CAB、△CAD、△CAE、△CBD、△CBE、△CDE，共6个。
【答案】
3；6
【知识点】
三角形的构成；组合计数
【点评】
本题是基础的几何计数题，核心考查三角形的构成条件（三点不共线），解题时需注意避免漏选或重复计数，难度较低，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
【分析】首先明确“共边三角形”的定义：有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”。本题要求找出以BC为公共边的共边三角形，需先确定图中所有以BC为边的三角形，再对这些三角形进行两两组合，统计符合条件的对数。
【解析】图中以BC为公共边的三角形有△BDC、△BEC、△BAC。从这3个三角形中任选2个，组成以BC为公共边的共边三角形对，分别是：△BDC与△BEC，△BDC与△BAC，△BEC与△BAC，共3对。
【答案】3
【知识点】三角形的边、共边三角形定义
【点评】本题为新定义题型，核心是准确理解“共边三角形”的定义，结合图形观察找出所有以BC为边的三角形，再通过两两组合计数，难度较低，侧重考查阅读理解与图形观察能力。
【难度系数】0.6
【分析】本题需通过分类讨论，分析在图②的小三角形内部取点时，因取点与原内部点的位置关系不同，导致三角形总数不同，进而计算两种情况的三角形数量。
【解析】图②中共有4个三角形，在其一个小三角形内部取点并连接该点与小三角形的3个顶点时，分两种情况：
1. 若所取的点与图②中的内部点不在同一条直线上，此时新增3个三角形，总共有 $4 + 3 = 7$ 个三角形；
2. 若所取的点与图②中的内部点在同一条直线上，此时新增5个三角形，总共有 $4 + 5 = 9$ 个三角形。
因此所得图形中三角形的数量为7或9。
【答案】7或9
【知识点】分类讨论思想、三角形的计数
【点评】本题结合分类讨论思想考查三角形的计数，需根据取点的位置差异分析结果，锻炼学生的逻辑分析与分类思维能力。
【难度系数】0.5
【分析】要计算平面内五个点中任意三个不共线时三角形的个数，本质是从5个点中选取3个点的组合数（三角形由三个不共线的点确定，无需考虑三个点的顺序），也可通过分类列举的方法逐个计数，避免重复或遗漏。
【解析】平面内的五个点中无三点共线，任意三个点均可构成三角形。方法一：利用组合数公式计算，从n个不同点中选3个的组合数为$C_{n}^{3}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$，代入n=5得：$C_{5}^{3}=\frac{5×4×3}{3×2×1}=10$；方法二：分类列举，以A为顶点的三角形有△ABC、△ABD、△ABE、△ACD、△ACE、△ADE（共6个），以B为顶点且不重复的有△BCE、△BCD、△BDE（共3个），以C为顶点且不重复的有△CDE（共1个），合计6+3+1=10个。
【答案】10
【知识点】组合计数、三角形的构成
【点评】本题考查组合计数的基础应用，结合三角形的构成条件求解，通过分类列举或组合公式均可得出结果，属于基础题型。
【难度系数】0.7
【分析】
本题需运用分类讨论思想，由于点M在AB所在直线（非线段），点N在AC所在直线，因此要先确定点M的位置（AB延长线、BA延长线），再针对每种M的位置，确定点N的不同位置（AC线段上、AC延长线、CA延长线），结合等边三角形的边长和线段和差关系，计算BM的长度，再根据BM=CN求出CN，进而计算AN的长度，避免漏解。
【解析】
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=10。
分两种大情况讨论：
情况一：点M在AB的延长线上
∵AM=16，AB=10，
∴BM=AM - AB=16 - 10=6。
点N在AC所在直线，分两种子情况：
①当N在AC的延长线上时，CN=BM=6，
∴AN=AC + CN=10 + 6=16；
②当N在AC边上时，CN=BM=6，
∴AN=AC - CN=10 - 6=4；
情况二：点M在BA的延长线上
∵AB=10，AM=16，
∴BM=AB + AM=10 + 16=26。
点N在AC所在直线，分两种子情况：
①当N在AC的延长线上时，CN=BM=26，
∴AN=AC + CN=10 + 26=36；
②当N在CA的延长线上时，CN=BM=26，
∴AN=CN - AC=26 - 10=16；
综上，AN的长为4或16或36。
【答案】
AN的长为4或16或36

【知识点】
等边三角形性质，线段和差，分类讨论思想
【点评】
本题考查分类讨论思想在几何计算中的应用，核心是明确点在直线上的不同位置，避免遗漏情况，需结合等边三角形的边长和线段的和差关系进行计算，是几何中常见的易错题，需仔细分析点的位置。
【难度系数】
0.5
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