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C
B
三角形具有稳定性
9 dm
$7 ≤ x < 9$
解：
(1) 当腰长为8 cm时，等腰三角形的周长为 $8×2+9=25(\mathrm{cm})；$
当腰长为9 cm时，等腰三角形的周长为 $8+9×2=26(\mathrm{cm})。$
$\therefore$ 该等腰三角形的周长为25 cm或26 cm。
(2) 当腰长为6 cm时，另外两边的长分别为6 cm和 $16-6×2=4\mathrm{cm}；$
当底边长为6 cm时，另外两边的长分别为 $\frac{16-6}{2}=5\mathrm{cm}$ 和5 cm。
(3) $\because$ 等腰三角形的腰长为 $x\ \mathrm{cm}，$
$\therefore$ 等腰三角形的底边长为 $(18-2x)\ \mathrm{cm}。$
由题意得：
$\begin{cases} 18-2x>0 \\ 18-2x<2x \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x<9 \\ x>\frac{9}{2} \end{cases}$
$\therefore x$ 的取值范围是 $\frac{9}{2} < x < 9。$
$>$
$<$
$<$
解：$\because a,b,c$ 是三角形的三边长，
$\therefore b+c-a>0，$$b-c-a<0，$$c-a-b<0，$$a-b+c>0，$
$\therefore$ 原式 $=b+c-a-(b-c-a)-(c-a-b)-(a-b+c)$
$=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c$
$=2b。$
两点之间线段最短（或三角形两边的和大于第三边）
解：如图，延长BD交AC于点E。
在$△ CBE$中，由三角形的三边关系，得 $BC+CE>BE$ ①。
在$△ ADE$中，由三角形的三边关系，得 $AE+DE>AD$ ②。
由①+②，得 $BC+CE+AE+DE>BE+AD。$
$\because AC=CE+AE，$$BE=BD+DE，$
$\therefore AC+BC>AD+BD。$

【分析】
判断三条线段能否构成三角形，核心依据是三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，为简化计算，只需验证较短两条线段的和是否大于最长线段即可（若满足此条件，其余两边之和必然大于第三边）。接下来对每组线段的比例，设每份长度为k（k＞0），分别计算较短两边之和与最长边比较，判断是否满足条件。
【解析】
解：设每份线段长度为k（k＞0），根据三角形三边关系逐一分析：
① 三边为2k、3k、4k，较短两边和：2k+3k=5k＞4k，能构成三角形；
② 三边为k、2k、3k，较短两边和：k+2k=3k=3k，不满足，不能构成；
③ 三边为2k、4k、6k，较短两边和：2k+4k=6k=6k，不满足，不能构成；
④ 三边为4k、4k、8k，较短两边和：4k+4k=8k=8k，不满足，不能构成；
⑤ 三边为6k、6k、10k，较短两边和：6k+6k=12k＞10k，能构成三角形；
⑥ 三边为6k、8k、10k，较短两边和：6k+8k=14k＞10k，能构成三角形；
综上，能构成三角形的有①、⑤、⑥，共3组，故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题考查三角形三边关系的应用，关键是利用简化判断方法快速验证，属于基础题型，需熟练掌握三边关系定理，难度不大。
【难度系数】
0.7
【分析】要化简式子|a - b - c| - |c - a - b|，需先利用三角形三边关系判断绝对值内代数式的正负性：三角形任意两边之和大于第三边，因此b + c ＞ a，a + b ＞ c，据此确定绝对值内式子的符号，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】因为a，b，c是△ABC的三边长，根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，所以b + c ＞ a，a + b ＞ c。
由此可得：a - b - c = a - (b + c) ＜ 0，c - a - b = c - (a + b) ＜ 0。
根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，所以：
|a - b - c| = -(a - b - c) = b + c - a，
|c - a - b| = -(c - a - b) = a + b - c。
将上述结果代入原式：
原式 = (b + c - a) - (a + b - c)
= b + c - a - a - b + c
= 2c - 2a。
【答案】B
【知识点】三角形三边关系、绝对值的性质、整式的加减
【点评】本题结合三角形三边关系考查绝对值的化简与整式的加减运算，属于基础题型，关键是利用三角形三边关系判断绝对值内式子的符号，步骤清晰，难度较低。
【难度系数】0.7
【分析】要理解斜钉木条修理摇晃椅子的依据，首先明确椅子摇晃的原因：椅子原本的结构是四边形，四边形具有不稳定性，受力后容易变形。斜钉木条后，木条会与椅子的部分结构共同构成三角形，而三角形具有稳定性，能固定结构，使椅子不再摇晃，因此该做法的数学依据是三角形具有稳定性。
【解析】椅子摇晃是因为其结构为四边形，四边形具有不稳定性，受力后易发生变形。斜钉一块木条后，木条与椅子的相关部分形成了三角形，三角形具有稳定性，能够增强椅子结构的稳固性，所以该做法的数学依据是三角形具有稳定性。
【答案】三角形具有稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【点评】本题将数学知识与生活中的实际问题相结合，考查三角形稳定性的应用，属于基础知识点的实际运用，体现了数学在生活中的实用性，难度较低。
【难度系数】0.8
【分析】首先根据等腰三角形“两腰相等”的性质，确定第三根木棒的长度只能是9dm或1dm；再依据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），对两种可能的长度进行验证，排除不符合的情况，即可得到正确结果。
【解析】等腰三角形有两条边长度相等，因此第三根木棒的长度有两种可能：
1. 若第三根长度为9dm，则三边为9dm、9dm、1dm，验证三边关系：9+1=10dm＞9dm，9+9=18dm＞1dm，1+9=10dm＞9dm，满足三角形三边关系，成立；
2. 若第三根长度为1dm，则三边为1dm、1dm、9dm，验证三边关系：1+1=2dm＜9dm，不满足三角形三边关系，不成立。
综上，第三根木棒的长度为9dm。
【答案】9 dm
【知识点】等腰三角形性质、三角形三边关系
【点评】本题为易错题，易错点是仅根据等腰三角形性质选边，忽略三角形三边关系的验证，需牢记三角形三边关系是判断三角形能否构成的关键。
【难度系数】0.3
【分析】
要确定最长边$x$的取值范围，需结合三角形周长先求出第三边长度，再利用“最长边需大于等于其余两边”的隐含条件，以及三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）列不等式，最后解不等式组得到结果。
【解析】
已知$△ ABC$周长为18，最长边为$x$，其中一条边长为4，则第三边长为$18 - 4 - x = 14 - x$。
1. 利用最长边的条件：$x$需大于等于其余两边，即$x ≥ 4$且$x ≥ 14 - x$，解$x ≥ 14 - x$得$x ≥ 7$；
2. 利用三角形三边关系：最长边需小于其余两边之和，即$x ＜ 4 + (14 - x)$，计算得$x ＜ 9$；
综上，$x$的取值范围是$7 ≤ x ＜ 9$。
【答案】
$7 ≤ x ＜ 9$
【知识点】
三角形三边关系；一元一次不等式组的应用
【点评】
本题核心考查三角形三边关系的应用，关键是抓住“最长边”的隐含条件，避免遗漏$x$需大于等于其余两边的要求，需准确结合不等式知识求解，难度适中。
【难度系数】
0.6
【分析】
本题需运用等腰三角形的性质与三角形三边关系，结合分类讨论思想解题：
（1）已知等腰三角形两边长，分腰长为8cm和腰长为9cm两种情况，先确定三边，再用三角形三边关系验证能否构成三角形，最后计算周长；
（2）已知周长和一边长，分该边为腰或底两种情况，计算另外两边后用三边关系验证；
（3）已知周长和腰长，先表示底边长，再根据三角形三边关系（底边长＞0、两腰之和大于底边长）列不等式组，求解腰长的取值范围。
【解析】
（1）分两种情况讨论：
① 当腰长为8cm时，底边长为9cm，三边为8cm、8cm、9cm，满足三角形三边关系，周长为$8×2+9=25\mathrm{cm}$；
② 当腰长为9cm时，底边长为8cm，三边为9cm、9cm、8cm，满足三角形三边关系，周长为$8+9×2=26\mathrm{cm}$；
故该等腰三角形的周长为25cm或26cm。
（2）分两种情况讨论：
① 当腰长为6cm时，设底边长为$y$cm，由周长得$6+6+y=16$，解得$y=4$，三边为6cm、6cm、4cm，满足三边关系，另外两边为6cm、4cm；
② 当底边长为6cm时，设腰长为$x$cm，由周长得$2x+6=16$，解得$x=5$，三边为5cm、5cm、6cm，满足三边关系，另外两边为5cm、5cm；
故另外两边的长为6cm和4cm或5cm和5cm。
（3）已知腰长为$x$cm，则底边长为$(18-2x)\mathrm{cm}$，根据三角形三边关系列不等式组：
$\begin{cases}18-2x＞0 \\2x＞18-2x \end{cases}$，解得$\begin{cases}x＜9 \\x＞\dfrac{9}{2} \end{cases}$，故$x$的取值范围是$\dfrac{9}{2}＜x＜9$。
【答案】
12. (1) 该等腰三角形的周长为25 cm或26 cm；
(2) 另外两边的长为6 cm和4 cm或5 cm和5 cm；
(3) $x$的取值范围是$\dfrac{9}{2}＜x＜9$。
【知识点】等腰三角形的性质、三角形三边关系、一元一次不等式组的应用
【点评】本题综合考查等腰三角形的分类讨论思想与三角形三边关系，解题时需注意分情况讨论后验证三边能否构成三角形，避免漏解，难度适中。
【难度系数】0.6
【分析】
解决本题需利用三角形的核心性质：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。对于(1)，将待判断的式子变形为“两边之和与第三边的差”的形式，结合三边关系即可判断正负；对于(2)，先根据三边关系确定每个绝对值内代数式的正负，再依据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，最后合并同类项完成化简。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”：
$a - b + c = (a + c) - b$，因为 $a + c ＞ b$，所以 $(a + c) - b ＞ 0$，即 $a - b + c ＞ 0$；
$b - c - a = b - (c + a)$，因为 $c + a ＞ b$，所以 $b - (c + a) ＜ 0$，即 $b - c - a ＜ 0$；
$c - a - b = c - (a + b)$，因为 $a + b ＞ c$，所以 $c - (a + b) ＜ 0$，即 $c - a - b ＜ 0$。
(2) 由(1)可知：$b + c - a ＞ 0$，$b - c - a ＜ 0$，$c - a - b ＜ 0$，$a - b + c ＞ 0$。
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去绝对值符号得：
$|b + c - a| = b + c - a$，$|b - c - a| = -(b - c - a) = -b + c + a$，$|c - a - b| = -(c - a - b) = -c + a + b$，$|a - b + c| = a - b + c$。
代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&=(b + c - a) + (-b + c + a) + (-c + a + b) - (a - b + c)\\&=b + c - a - b + c + a - c + a + b - a + b - c\\&=2b\end{aligned}$
【答案】
(1) $＞$，$＜$，$＜$；(2) $2b$
【知识点】
三角形三边关系、绝对值化简、整式的加减
【点评】
本题是三角形与整式运算结合的基础题，核心是利用三角形三边关系判断代数式正负，再结合绝对值性质化简，需熟练掌握相关法则，难度不大。
【难度系数】
0.7
【分析】
第(1)问，路线①是A到B的线段，结合几何基本性质即可得出选择理由；第(2)问要证明$AC+BC＞AD+BD$，需通过构造辅助线，利用三角形三边关系，将线段转化后推导不等式，核心是利用三角形三边关系的性质进行线段的等量代换与不等式变形。
【解析】
(1) 路线①是A到B的线段，根据“两点之间，线段最短”，或三角形两边的和大于第三边，所以小红会选择路线①。
(2) 证明：延长$BD$交$AC$于点$E$。
在$△ CBE$中，根据三角形三边关系（两边之和大于第三边），得$BC + CE＞BE$ ①；
在$△ ADE$中，同理可得$AE + DE＞AD$ ②；
将①和②相加，得$BC + CE + AE + DE＞BE + AD$；
因为$AC = CE + AE$，$BE = BD + DE$，代入上式可得：
$AC + BC + DE＞BD + DE + AD$；
两边同时减去$DE$，最终得到$AC + BC＞AD + BD$，因此路线③的路程更长。
【答案】
(1) 两点之间线段最短（或三角形两边的和大于第三边）；
(2) 如图,延长 $BD$ 交 $AC$ 于点 $E$. 在 $△ CBE$ 中,由三角形的三边关系,得 $BC+CE＞BE$①. 在 $△ ADE$ 中,由三角形的三边关系,得 $AE+DE＞AD$②. 由①+②,得 $BC+CE+AE+DE＞BE+AD$. $\because AC=CE+AE$,$BE=BD+DE$,$\therefore AC+BC＞AD+BD$
【知识点】
两点之间线段最短；三角形三边关系
【点评】
本题结合实际场景考查几何基本性质，通过构造辅助线将分散的线段整合，利用三角形三边关系推导不等式，属于基础几何应用题型，重点考查学生对几何性质的理解与简单推理能力。
【难度系数】
0.3
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