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B
线段AB
线段DC
$\frac{9}{2}$
$1\ \mathrm{cm^2}$
2
解：
​$ (1) $​∵在​$△ ABC$​中，​$∠ CAB=90°$​，​$AD$​是边​$BC$​上的高，
∴​$S_{△ ABC}=\frac {1}{2}AB· AC=\frac {1}{2}BC· AD$​。
∵​$AB=6\ \mathrm {cm}$​，​$AC=8\ \mathrm {cm}$​，​$BC=10\ \mathrm {cm}$​，
∴​$AD=4.8\ \mathrm {cm}$​。
​$ (2) $​∵​$AE$​是​$△ ABC$​的中线，
∴​$BE=\frac {1}{2}BC$​。
∴​$S_{△ ABE}=\frac {1}{2}BE· AD$​
​$=\frac {1}{2}·\frac {1}{2}BC· AD$​
​$=\frac {1}{4}BC· AD$​
​$=\frac {1}{4}×10×4.8$​
​$=12(\mathrm {cm}^2)$​。
​$ (3) $​∵​$AE$​是​$△ ABC$​的中线，
∴​$BE=CE$​。
​$ $​将​$△ ACE$​和​$△ ABE$​的周长分别记为​$C_{△ ACE}$​和​$C_{△ ABE}$​，
​$ $​则​$C_{△ ACE}-C_{△ ABE}=AC+CE+AE-(AB+BE+AE)$​
​$=AC-AB=8-6=2(\mathrm {cm})$​。
解：$AD$是$△ ABC$的角平分线，理由如下：
$\because DE// AC，$$DF// AB，$
$\therefore ∠ ADE=∠ DAF，$$∠ ADF=∠ EAD。$
$\because ∠ ADE=∠ ADF，$
$\therefore ∠ DAF=∠ EAD。$
$\therefore AD$平分$∠ BAC，$即$AD$是$△ ABC$的角平分线。
解：根据题意，得​$AD=CD=\frac {1}{2}AC=\frac {1}{2}AB$​。
​$ ① $​若​$AB+AD=12\ \mathrm {cm}$​，则​$\frac {3}{2}AB=12\ \mathrm {cm}$​，
∴​$AB=AC=8\ \mathrm {cm}$​。
∴​$AD=CD=4\ \mathrm {cm}$​，此时​$BC+CD=15\ \mathrm {cm}$​，
∴​$BC=11\ \mathrm {cm}$​。
​$ ② $​若​$AB+AD=15\ \mathrm {cm}$​，则​$\frac {3}{2}AB=15\ \mathrm {cm}$​，
∴​$AB=AC=10\ \mathrm {cm}$​。
∴​$AD=CD=5\ \mathrm {cm}$​，此时​$BC+CD=12\ \mathrm {cm}$​，
∴​$BC=7\ \mathrm {cm}$​。
综上所述，​$△ ABC$​各边的长分别为​$8\ \mathrm {cm}，8\ \mathrm {cm}，11\ \mathrm {cm}$​或​$10\ \mathrm {cm}，10\ \mathrm {cm}，7\ \mathrm {cm}$​。
【分析】
要判断各选项的正确性，需结合三角形角平分线、高、中线的定义逐一分析：首先明确各线段的性质，再对照选项验证是否符合定义，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
根据三角形相关线段的定义分析：
1. 选项A：D是BC中点，AD是△ABC的中线，仅当AB=AC时AD=CD，题目未说明△ABC为等腰三角形，故A错误；
2. 选项B：AE是△ABC的角平分线，根据角平分线定义，角平分线将内角分成两个相等的角，因此∠CAE=∠BAE=1/2∠BAC，故B正确；
3. 选项C：AF是△ABC的高，高与对边垂直，故∠AFB=∠AFC=90°，而非∠AEB，故C错误；
4. 选项D：F是AF与BC的垂足，仅当AC=AF时DF=CF，题目未说明，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
三角形角平分线、三角形高、三角形中线
【点评】
本题考查三角形基本线段的概念，属于易错题，需准确区分角平分线、高、中线的定义，避免概念混淆。
【难度系数】
0.5
【分析】要确定三角形某条边上的高，需依据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段即为该边上的高。对于△ADE，边DE在直线BD上，AB⊥BD，故AB是A到DE的垂线段，即DE边上的高；边AE在直线AC上，CD⊥AC，故CD是D到AE的垂线段，即AE边上的高。求AB时，可利用△ADE的两种面积表达式（以DE为底、AB为高，或以AE为底、CD为高）建立等式求解。
【解析】1. 确定△ADE的高：
边DE在直线BD上，AB⊥BD，所以AB⊥DE，因此△ADE边DE上的高是线段AB；
边AE在直线AC上，CD⊥AC，所以CD⊥AE，因此△ADE边AE上的高是线段DC。
2. 计算AB的长度：
△ADE的面积可表示为 $ S_{△ ADE} = \frac{1}{2} × DE × AB $，也可表示为 $ S_{△ ADE} = \frac{1}{2} × AE × CD $，因此：
$ \frac{1}{2} × DE × AB = \frac{1}{2} × AE × CD $
两边同乘2得：$ DE × AB = AE × CD $，代入已知 $ AE=5 $，$ DE=2 $，$ CD=\frac{9}{5} $：
$ 2 × AB = 5 × \frac{9}{5} = 9 $
解得 $ AB = \frac{9}{2} $。
【答案】线段AB；线段DC；$\frac{9}{2}$
【知识点】三角形的高；三角形面积计算
【点评】本题结合三角形高的定义与面积公式，考查对三角形基本概念的理解和代数运算能力，关键是准确识别对应边上的高，利用面积相等建立等量关系，属于基础应用题型。
【难度系数】0.5
【分析】要计算涂色部分的面积，需利用“三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分”这一性质，逐步根据各点是中点的条件，推导各三角形的面积，最终得到涂色部分的面积。
【解析】
1. 因为D是BC的中点，AD是△ABC的中线，根据中线平分三角形面积的性质，得：
$ S_{△ ABD} = S_{△ ACD} = \frac{1}{2}S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 4 = 2\ \mathrm{cm}^2 $；
2. E是AD的中点，BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，同理可得：
$ S_{△ BDE} = \frac{1}{2}S_{△ ABD} = 1\ \mathrm{cm}^2 $，$ S_{△ CDE} = \frac{1}{2}S_{△ ACD} =1\ \mathrm{cm}^2 $；
3. 因此，△BCE的面积为：$ S_{△ BCE} = S_{△ BDE} + S_{△ CDE} =1+1=2\ \mathrm{cm}^2 $；
4. F是CE的中点，BF是△BCE的中线，再次利用中线平分面积的性质，得：
$ S_{\mathrm{涂色}} = S_{△ BEF} = \frac{1}{2}S_{△ BCE} = \frac{1}{2} ×2=1\ \mathrm{cm}^2 $。
【答案】$1\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】三角形中线与面积
【点评】本题核心是利用三角形中线平分面积的性质，通过多次中点关系逐步推导，难度中等，适合基础扎实的学生解答。
【难度系数】0.5
【分析】求△ABD与△ACD的周长之差，需结合中线性质和周长公式分析：AD是中线则BD=CD，AD是两个三角形的公共边，因此周长差等于AB与AC的差，只需先求出AC的长度即可。
【解析】
1. 因为AD是BC边上的中线，所以BD=CD=3\ \mathrm{cm}，故BC=BD+CD=3+3=6\ \mathrm{cm}；
2. 已知△ABC的周长为16，AB=6，根据周长定义，得：
$ AC = 周长 - AB - BC =16 -6 -6=4\ \mathrm{cm} $；
3. △ABD的周长为$ AB + BD + AD $，△ACD的周长为$ AC + CD + AD $，由于BD=CD、AD公共，因此周长差为：
$ (AB + BD + AD) - (AC + CD + AD) = AB - AC =6 -4=2 $。
【答案】2
【知识点】三角形中线、周长计算
【点评】本题巧妙利用中线性质简化计算，无需计算AD的长度，考查对周长和中线概念的理解，难度较低，多数学生可解答。
【难度系数】0.6
【分析】
要解决这道题，需结合直角三角形的面积计算、三角形中线的性质逐步推导：
1. 求AD的长：利用直角三角形面积的两种计算方式，通过面积相等建立等式求解；
2. 求△ABE的面积：根据中线的性质，中线将三角形分成面积相等的两部分，结合三角形面积公式计算；
3. 求周长差：利用中线得到BE=CE，两个三角形的公共边AE抵消，周长差仅为AC与AB的差，直接计算即可。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠CAB=90°，AD是BC边上的高，根据三角形面积的两种计算方法：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}BC·AD$
代入$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AC=8\ \mathrm{cm}$，$BC=10\ \mathrm{cm}$，得：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10×AD$
计算得$24=5AD$，解得$AD=4.8\ \mathrm{cm}$。
(2) 因为AE是△ABC的中线，所以$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$，△ABE以BE为底、AD为高，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}BE·AD=\frac{1}{2}×5×4.8=12\ \mathrm{cm}^2$。
(3) 设△ACE的周长为$C_{△ ACE}$，△ABE的周长为$C_{△ ABE}$，因为AE是中线，所以$BE=CE$，且AE为公共边，因此：
$C_{△ ACE}-C_{△ ABE}=(AC+CE+AE)-(AB+BE+AE)=AC-AB$
代入$AC=8\ \mathrm{cm}$，$AB=6\ \mathrm{cm}$，得$8-6=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) AD的长为4.8cm；
(2) △ABE的面积为12cm²；
(3) △ACE和△ABE的周长差为2cm。
【知识点】
三角形面积公式、直角三角形性质、三角形中线的性质
【点评】
本题围绕直角三角形的高、中线展开计算，核心是面积法求高和中线的性质应用，属于基础题型，需熟练掌握三角形的相关公式与性质。
【难度系数】
0.6
【分析】
要判断AD是否为△ABC的角平分线，需验证AD是否平分∠BAC。已知DE//AC、DF//AB，根据平行线的内错角相等性质，可得到∠ADE与∠DAF、∠ADF与∠EAD分别相等；结合题目给出的∠ADE=∠ADF，通过等量代换能推出∠DAF=∠EAD，即可证明AD平分∠BAC，进而得出结论。
【解析】
解：AD是△ABC的角平分线，理由如下：
∵ DE//AC，DF//AB（已知），
∴ ∠ADE = ∠DAF（两直线平行，内错角相等），
∠ADF = ∠EAD（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ ∠ADE = ∠ADF（已知），
∴ ∠DAF = ∠EAD（等量代换），
即AD平分∠BAC，
∴ AD是△ABC的角平分线。
【答案】
AD是△ABC的角平分线。
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题是平行线性质与角平分线定义的基础应用题型，通过平行线的内错角相等性质，结合已知角的等量关系推导角平分线，考查学生对基础几何性质的掌握与应用能力。
【难度系数】
0.6
【分析】
本题是等腰三角形结合中线分周长的问题，解题思路：首先利用等腰三角形性质和中线定义，得到AD=CD=½AB；由于BD将△ABC周长分成的两部分未明确对应关系，需分两种情况讨论（AB+AD为12cm或15cm），分别计算边长后验证三角形三边关系，最终确定结果。
【解析】
设AB=AC=x cm，因为BD是AC边上的中线，所以AD=CD=½AC=½x cm。
△ABC的周长被BD分为AB+AD和BC+CD两部分，分两种情况讨论：
1. 若AB + AD =12 cm，则x + ½x =12，解得x=8。此时AB=AC=8 cm，CD=4 cm，故BC=15 - CD=15 -4=11 cm。验证：8+8＞11，8+11＞8，满足三角形三边关系，有效。
2. 若AB + AD =15 cm，则x +½x=15，解得x=10。此时AB=AC=10 cm，CD=5 cm，故BC=12 - CD=12 -5=7 cm。验证：10+10＞7，10+7＞10，满足三角形三边关系，有效。
综上，△ABC的三边长为8 cm,8 cm,11 cm或10 cm,10 cm,7 cm。
【答案】
△ABC各边的长分别为8 cm,8 cm,11 cm或10 cm,10 cm,7 cm
【知识点】
等腰三角形性质，中线定义，分类讨论思想
【点评】
本题考查等腰三角形性质与分类讨论思想的应用，关键是明确中线分周长的两部分对应关系，需全面考虑两种情况，同时结合三角形三边关系验证结果，避免漏解。
【难度系数】
0.6
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