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4
3
7
10
$3n-2$
1
2
2
3
3
4
$n-3$
$n-2$
相同
2
5
解：
​$ (1)①$​如图​$①$​所示：

②如图②所示：

​$ (2) $​由题可知​$D_5=5$​，代入公式计算：
​$ D_6=D_5· \frac {4×5-6}{5}=5× \frac {14}{5}=14($​种​$)$​
​$ $​即六边形有​$14$​种三角剖分方法。
​$ (3) $​∵​$D_6=14$​
∴​$D_7=14× \frac {4×6-6}{6}=42($​种​$)$​
∴​$D_8=D_7· \frac {4×7-6}{7}=42× \frac {4×7-6}{7}=132($​种​$)$​
​$ $​即八边形有​$132$​种三角剖分方法。
【分析】
解题时需突破平面图形的思维局限，考虑立体结构搭建等边三角形：先明确3根磁力棒对应1个等边三角形；6根磁力棒可搭建正四面体（立体图形），其包含4个等边三角形；再增加3根磁力棒时，新增3个等边三角形，以此类推，最后归纳出3n根磁力棒的数量规律。
【解析】
解：
1. 3根磁力棒（n=1）：仅能搭成1个等边三角形；
2. 6根磁力棒（n=2）：搭建正四面体（立体图形），正四面体有6条棱，包含4个等边三角形，故最多搭成4个；
3. 用9根磁力棒时：在6根的基础上新增3根，可增加3个等边三角形，总数量为4+3=7个；
4. 用12根磁力棒时：再新增3根，总数量为7+3=10个；
规律：每增加3根磁力棒，等边三角形数量增加3个，初始n=1时为1，因此3n根磁力棒最多可搭成(3n-2)个等边三角形。
【答案】
4；3；7；10；(3n-2)
【知识点】
立体图形搭建、找规律、等边三角形
【点评】
本题需突破平面思维，考查空间想象能力与归纳总结能力，是几何与规律探究结合的典型题目。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决本题，需先明确多边形对角线的定义：从多边形的一个顶点出发，无法向自身以及相邻的2个顶点作对角线，因此从一个顶点出发的对角线数量为总顶点数减3；连接这些对角线后，分成的三角形个数比对角线数多1。据此可逐个计算四边形、五边形、六边形的对应数值，再归纳出n边形的一般规律，最后判断不同剖分方法下三角形个数的情况。
【解析】
（1）四边形的顶点数为4，从一个顶点出发，对角线数量为$4-3=1$条，分成的三角形个数为$1+1=2$个；
（2）五边形的顶点数为5，从一个顶点出发，对角线数量为$5-3=2$条，分成的三角形个数为$2+1=3$个；
（3）六边形的顶点数为6，从一个顶点出发，对角线数量为$6-3=3$条，分成的三角形个数为$3+1=4$个；
（4）归纳规律：从n边形（$n≥3$且为整数）的一个顶点出发，可作$(n-3)$条对角线，将多边形分成$(n-2)$个三角形；无论用何种剖分方法，从一个顶点出发的剖分得到的三角形个数均为$n-2$，因此三角形个数相同。
【答案】
(1) 1，2；(2) 2，3；(3) 3，4；(4) $(n-3)$，$(n-2)$，相同
【知识点】
多边形的对角线；多边形的三角形分割；n边形的规律
【点评】
本题通过探究不同边数多边形的对角线与三角形分割的规律，考查学生的观察、归纳能力，是多边形基础知识点的典型探究题，帮助学生建立从特殊到一般的数学思维。
【难度系数】
0.6
【分析】
首先明确多边形三角剖分的定义：将多边形分割成若干个不重叠、无遗漏的三角形的过程，不同的分割方式对应不同的三角剖分方法。题目给出三角剖分方法数的递推公式，已知$D_3=1$，可通过递推公式依次计算各边数多边形的三角剖分方法数，同时通过画图验证四边形、五边形的结果。
【解析】
(1) ① 四边形的三角剖分：连接一条对角线即可将四边形分为2个三角形，共有2种不同的剖分方法，对应图①；② 五边形的三角剖分：通过画图计数，共有5种不同的剖分方法，对应图②。
(2) 计算六边形的三角剖分方法数：
已知递推公式为 $ D_{n+1}=D_{n}·\dfrac{4n-6}{n} $，且 $ D_3=1 $。
先计算 $ D_4 = D_3·\dfrac{4×3 -6}{3}=1×\dfrac{6}{3}=2 $；
$ D_5 = D_4·\dfrac{4×4 -6}{4}=2×\dfrac{10}{4}=5 $；
则六边形的三角剖分方法数 $ D_6 = D_5·\dfrac{4×5 -6}{5}=5×\dfrac{14}{5}=14 $（种）。
(3) 计算八边形的三角剖分方法数：
先算 $ D_7 = D_6·\dfrac{4×6 -6}{6}=14×\dfrac{18}{6}=42 $；
再算 $ D_8 = D_7·\dfrac{4×7 -6}{7}=42×\dfrac{22}{7}=132 $（种）。
【答案】
(1) ① 2 如图①所示 ② 5 如图②所示
(2) 14种
(3) 132种
【知识点】
多边形三角剖分、递推计算
【点评】
本题结合画图计数与递推公式考查多边形三角剖分的方法数，需理解三角剖分的定义，熟练运用递推公式逐步计算，同时通过画图验证小边数多边形的结果，难度适中，适合巩固递推计数的应用。
【难度系数】
0.5
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