第23页

信息发布者：
C
7
$30°$
$70°$

解：
​$ (1) $​猜想：​$∠ BDC = ∠ BAC + ∠ B + ∠ C$​。
理由：​​如图，连接​$AD$​并延长至点​$F$​。
∵​$∠ FDC = ∠ DAC + ∠ C$​，​$∠ BDF = ∠ B + ∠ BAD$​，
∴​$∠ FDC + ∠ BDF = ∠ DAC + ∠ C + ∠ B + ∠ BAD$​，
​$ $​即​$∠ BDC = ∠ BAC + ∠ B + ∠ C$​。
​$ (2) ① $​由
​$ (1)$​的结论可知​$∠ A + ∠ ABD + ∠ ACD = ∠ BDC=90°$​，
∵​$∠ A=40°$​，
∴​$∠ ABD + ∠ ACD = 90° - 40° = 50°$​。
​$ ② $​由​$(1)$​的结论可知​$∠ ABP + ∠ ACP = ∠ BPC - ∠ A = 130° - 40° = 90°$​。
∵​$BD$​平分​$∠ ABP$​，​$CD$​平分​$∠ ACP$​，
∴​$∠ ABD = \frac {1}{2}∠ ABP$​，​$∠ ACD = \frac {1}{2}∠ ACP$​，
∴​$∠ ABD + ∠ ACD = \frac {1}{2}∠ ABP + \frac {1}{2}∠ ACP = \frac {1}{2}(∠ ABP + ∠ ACP) = 45°$​。
​$ $​再由​$(1)$​的结论可知​$∠ BDC = ∠ A + ∠ ABD + ∠ ACD = 40° + 45° = 85°$​。
【分析】要确定图中直角三角形的数量，需依据直角三角形的定义（有一个角为直角的三角形），结合图中已知的直角（∠BAC=90°，AD⊥BC形成的直角），逐一判断每个三角形是否存在直角即可。
【解析】根据直角三角形的定义，逐个分析：
1. 在△ABC中，∠BAC=90°，因此△ABC是直角三角形；
2. AD是BC边上的高，故AD⊥BC，即∠ADB=90°，因此△ABD是直角三角形；
3. 同理，∠ADC=90°，所以△ADC是直角三角形；
4. 点E在BC上，AD⊥BC，故∠ADE=90°，因此△ADE是直角三角形；
综上，图中共有4个直角三角形。
【答案】C
【知识点】直角三角形的识别、三角形的高
【点评】本题考查直角三角形的判定，核心是结合图形中的直角，逐一排查三角形，避免漏算由高形成的直角三角形。
【难度系数】0.5
【分析】要解决这个问题，我们可以通过连接辅助线，利用“三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分”这一性质，逐步推导△A₁B₁C₁的面积。首先连接AB₁、BC₁、CA₁，根据各点是线段中点的条件，找出与△ABC面积相等的三角形，再累加得到△A₁B₁C₁的总面积。
【解析】连接AB₁，BC₁，CA₁。
1. 因为A是A₁B的中点，△A₁AC与△ABC等底同高，所以面积相等，即$S_{△ A_{1}AC}=S_{△ ABC}=1$；
2. 同理，B是B₁C的中点，故$S_{△ B_{1}AB}=S_{△ ABC}=1$；
3. C是C₁A的中点，故$S_{△ C_{1}BC}=S_{△ ABC}=1$；
4. 进一步可得，$S_{△ A_{1}B_{1}A}=1$，$S_{△ A_{1}B_{1}B}=1$，$S_{△ C_{1}A_{1}C}=1$，加上原△ABC的面积1，总共7个面积为1的三角形，因此$S_{△ A_{1}B_{1}C_{1}}=7×1=7$。
【答案】7
【知识点】三角形中线性质，三角形面积计算
【点评】本题通过辅助线分割图形，利用三角形中线平分面积的性质求解，考查对三角形面积与中线关系的理解，属于中等难度的几何题。
【难度系数】0.5
【分析】
要解决本题，需结合角平分线的定义和三角形外角的性质进行推导：首先根据角平分线的性质，由BP平分∠ABC、CP平分外角∠ACM，求出∠PBC和∠PCM的度数；再利用三角形外角定理（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），在△PBC中建立∠PCM、∠P、∠PBC的关系，即可计算出∠P的度数。
【解析】
1. 根据角平分线的定义，BP平分∠ABC，已知∠ABP=20°，因此∠PBC = ∠ABP = 20°；
2. CP是△ABC外角∠ACM的平分线，已知∠ACP=50°，因此∠PCM = ∠ACP = 50°；
3. 根据三角形外角的性质，在△PBC中，∠PCM是外角，满足∠PCM = ∠P + ∠PBC；
4. 将∠PCM=50°、∠PBC=20°代入，得∠P = ∠PCM - ∠PBC = 50° - 20° = 30°。
【答案】
30°
【知识点】
角平分线性质、三角形外角定理
【点评】
本题考查角平分线的定义和三角形外角的性质，核心是利用角平分线得到相关角的度数，再通过外角定理推导目标角，属于基础几何题，难度不大。
【难度系数】
0.5
【分析】
要计算∠CDE的度数，需结合三角形内角和定理、外角性质进行推导。首先在△BOC中利用内角和求出∠OBC与∠OCB的和，再在△ABC中结合已知∠A的度数，通过角的拆分与等量代换得到∠ABO与∠ACO的和，最后利用∠CDE作为三角形外角的性质，结合题目给出的角相等条件，即可求出结果。
【解析】
1. 在△BOC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠OBC + ∠OCB = 180° - ∠BOC = 180° - 150° = 30°。
2. 在△ABC中，根据三角形内角和为180°，∠ABC = ∠ABO + ∠OBC，∠ACB = ∠ACO + ∠OCB，因此：
∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°，
代入已知∠A=80°和∠OBC+∠OCB=30°，得：
80° + (∠ABO + ∠OBC) + (∠ACO + ∠OCB) = 180°，
整理得：∠ABO + ∠ACO + (∠OBC + ∠OCB) = 100°，
即∠ABO + ∠ACO + 30° = 100°，
所以∠ABO + ∠ACO = 70°。
3. 由题目条件∠ABO=∠CBE，∠ACO=∠BCD，可得：
∠CBE + ∠BCD = ∠ABO + ∠ACO = 70°。
4. 根据三角形外角的性质，∠CDE是△BCD的外角，因此：
∠CDE = ∠CBE + ∠BCD = 70°。
【答案】
70°
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角性质，角的等量代换
【点评】
本题综合考查三角形内角和定理与外角性质，解题关键是通过角的拆分与等量代换，将所求角转化为已知角的和，需要学生具备一定的逻辑推导能力，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决这道题，首先需推导“规形图”中∠BDC与∠A、∠B、∠C的关系，核心方法是添加辅助线，利用三角形外角的性质拆分角度得出结论；后续两个小问题直接运用推导的结论，结合已知角度和角平分线性质计算即可。
【解析】
(1) 结论：$\boldsymbol{∠BDC = ∠BAC + ∠B + ∠C}$。
理由：连接AD并延长至点F。根据三角形外角性质：在△ABD中，$∠BDF = ∠BAD + ∠B$；在△ACD中，$∠FDC = ∠DAC + ∠C$。两式相加得$∠BDF + ∠FDC = (∠BAD + ∠DAC) + ∠B + ∠C$，即$∠BDC = ∠BAC + ∠B + ∠C$。
(2) ① 由(1)的结论，$∠BDC = ∠A + ∠ABD + ∠ACD$。因三角尺DEF是直角三角尺，故$∠BDC = 90°$，代入$∠A=40°$得：$∠ABD + ∠ACD = 90° - 40° = 50°$。
② 由(1)的结论，在△BPC中，$∠BPC = ∠A + ∠ABP + ∠ACP$，代入$∠BPC=130°$、$∠A=40°$得：$∠ABP + ∠ACP = 130° - 40° = 90°$。因BD平分$∠ABP$，CD平分$∠ACP$，故$∠ABD=\frac{1}{2}∠ABP$，$∠ACD=\frac{1}{2}∠ACP$，则$∠ABD + ∠ACD = \frac{1}{2}(∠ABP + ∠ACP)=45°$。再代入(1)的结论得：$∠BDC = 40° + 45° = 85°$。
【答案】
18. (1) $∠BDC = ∠BAC + ∠B + ∠C$ 理由:如图,连接AD并延长至点F. $\because ∠ FDC = ∠ DAC + ∠ C, ∠ BDF = ∠ B + ∠ BAD,\therefore ∠ FDC + ∠ BDF = ∠ DAC + ∠ C + ∠ B + ∠ BAD$,即$∠ BDC = ∠ BAC + ∠ B + ∠ C$.
(2) ① $\because ∠ BDC = 90°, \therefore 由(1),知∠ A + ∠ ABD + ∠ ACD = ∠ BDC = 90°. \because ∠ A=40°,\therefore ∠ ABD + ∠ ACD = 90° - 40° = 50°$
② $\because ∠ BPC=130°,∠ A=40°,\therefore 由(1),可知∠ ABP + ∠ ACP = ∠ BPC - ∠ A=130°-40°=90°. \because BD平分∠ ABP,CD平分∠ ACP, \therefore ∠ ABD=\dfrac{1}{2}∠ ABP,∠ ACD=\dfrac{1}{2}∠ ACP. \therefore ∠ ABD + ∠ ACD=\dfrac{1}{2}∠ ABP+\dfrac{1}{2}∠ ACP=\dfrac{1}{2}(∠ ABP+∠ ACP)=45°. \therefore 由(1),可知∠ BDC = ∠ A + ∠ ABD + ∠ ACD = 40° + 45°=85°$

【知识点】
三角形外角性质，角平分线定义
【点评】
本题通过辅助线推导“规形图”的核心角度关系，再运用结论解决问题，重点考查三角形外角性质的灵活应用，属于基础几何题，思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.5
上一页 下一页