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7
$(1,4)$
解：
​$ (1) $​∵​$AB// DF$​，
∴​$∠ A=∠ EDF$​。
​$ $​在​$△ ABC$​和​$△ DEF$​中，
​$ \begin {cases} ∠ A=∠ EDF，\\AB=DE，\\∠ B=∠ E， \end {cases}$​
∴​$△ ABC≌△ DEF$​。
​$ (2) $​由​$ (1)$​知​$△ ABC≌△ DEF$​，
∴​$∠ F=∠ ACB$​。
∵​$AB// DF$​，​$∠ BGF=38°$​，
∴​$∠ B=∠ BGF=38°$​。
​$ $​在​$△ ABC$​中，​$∠ ACB=180°-∠ B-∠ A=180°-38°-82°=60°$​，
∴​$∠ F=∠ ACB=60°$​。
解：
​$ (1) △ ACD≌△ CBE$​，证明如下：
∵​$∠ ACB=90°$​，
∴​$∠ ACD+∠ ECB=90°$​。
∵​$AD⊥ CE$​，​$BE⊥ CE$​，
∴​$∠ ADC=∠ CEB=90°$​。
∴​$∠ ACD+∠ DAC=90°$​。
∴​$∠ ECB=∠ DAC$​。
​$ $​在​$△ ACD$​和​$△ CBE$​中，
​$ \begin {cases} ∠ ADC=∠ CEB，\\∠ DAC=∠ ECB，\\AC=CB， \end {cases}$​
∴​$△ ACD≌△ CBE$​。
​$ (2) $​∵​$△ ACD≌△ CBE$​，
∴​$CD=BE=3$​，​$AD=CE$​。
又∵​$CE=CD+DE=3+5=8$​，
∴​$AD=8$​。
证明：
​$ (1) $​在​$△ ABE$​和​$△ ACD$​中，
​$ \begin {cases} ∠ B=∠ C，\\AB=AC，\\∠ BAE=∠ CAD， \end {cases}$​
∴​$△ ABE≌△ ACD$​。
∴​$AE=AD$​。
∴​$AB-AD=AC-AE$​，即​$BD=CE$​。
​$ (2) $​在​$△ BDF$​和​$△ CEF$​中，
​$ \begin {cases} ∠ B=∠ C，\\∠ BFD=∠ CFE，\\BD=CE， \end {cases}$​
∴​$△ BDF≌△ CEF$​。
​$ (3) $​由​$ (2)$​知​$△ BDF≌△ CEF$​，
∴​$BF=CF$​。
​$ $​在​$△ ABF$​和​$△ ACF$​中，
​$ \begin {cases}\ \mathrm {AB}=AC，\\∠ B=∠ C，\\BF=CF， \end {cases}$​
∴​$△ ABF≌△ ACF$​。
∴​$∠ BAF=∠ CAF$​，即​$AF$​平分​$∠ BAC$​。
【分析】要计算BD的长度，需先通过垂直关系推导角相等，证明两个直角三角形全等，再利用全等三角形的对应边相等得到线段长度，最后结合线段的和差关系计算BD。首先，由AB⊥DE可得∠D + ∠B=90°，结合Rt△ABC中∠A + ∠B=90°，推出∠D=∠A；再根据已知的直角和AB=DE，证明△ABC≌△DEF；最后利用对应边相等求出DF、BC的长度，再结合CF的长度计算BD。
【解析】
1. 推导角相等：设AB与DE交于点G，因为AB⊥DE，所以∠DGB=90°，故∠D + ∠B=90°。在Rt△ABC中，∠ACB=90°，因此∠A + ∠B=90°，所以∠D=∠A。
2. 证明三角形全等：在△ABC和△DEF中，
$\{\begin{array}{l} ∠A=∠D \\ ∠ACB=∠DFE \\ AB=DE \end{array} $
所以△ABC≌△DEF（AAS）。
3. 求对应边长度：由全等得AC=DF=6，BC=EF=4。
4. 计算BD：因为点D、C、F、B在同一直线上，所以DC=DF - CF=6 - 3=3，又CB=4，因此BD=DC + CB=3 + 4=7。
【答案】7
【知识点】全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】本题通过垂直关系构造等角，利用AAS证明全等三角形，再结合线段和差求解，是全等三角形在几何计算中的典型应用，需注意对应边的准确识别。
【难度系数】0.6
【分析】要确定点B的坐标，需结合等腰直角三角形的性质，通过构造直角三角形证明全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质，结合坐标的几何意义计算线段长度，进而得到点B的坐标。具体思路：过点A、B分别作x轴的垂线，构造两个直角三角形，证明这两个三角形全等，再根据已知点的坐标求出对应线段的长度，从而确定点B的横、纵坐标。
【解析】如图，过点A作$AD⊥x$轴于点D，过点B作$BE⊥x$轴于点E。
$\therefore ∠ADC=∠CEB=90°$，
$\therefore ∠ACD + ∠CAD = 90°$。
$\because ∠ACB=90°$，
$\therefore ∠ACD + ∠BCE = 90°$，
$\therefore ∠CAD = ∠BCE$。
在$△CAD$和$△BCE$中，
$\begin{cases}∠ADC=∠CEB \\∠CAD=∠BCE \\AC=CB\end{cases}$
$\therefore △CAD≌△BCE（AAS）$，
$\therefore AD=CE，CD=BE$。
已知点$A(-6,3)$，$C(-2,0)$，则$OD=6$，$OC=2$，$AD=3$，
$\therefore CD=OD - OC = 6 - 2 = 4$，
$\therefore BE=CD=4$；
又$\because AD=CE=3$，
$\therefore OE=CE - OC = 3 - 2 = 1$，
$\therefore$点B的坐标为$(1,4)$。
【答案】(1,4)
【知识点】全等三角形判定与性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形性质
【点评】本题主要考查利用全等三角形解决坐标问题，关键是通过作辅助线构造全等三角形，结合坐标的几何意义计算线段长度，难度适中，属于中等题型。
【难度系数】0.6
【分析】
要解决本题，首先利用平行线的性质得到相等的角，结合已知条件用ASA判定三角形全等；再利用全等三角形对应角相等，结合平行线的性质和三角形内角和定理计算角度。具体步骤：
1. 证明△ABC≌△DEF：由AB//DF得∠A=∠EDF，结合已知AB=DE、∠B=∠E，用ASA完成全等证明；
2. 求∠F的度数：利用全等得∠F=∠ACB，再由AB//DF得∠B=∠BGF，最后在△ABC中用内角和公式计算∠ACB，即可得到∠F的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB//DF，
∴ ∠A = ∠EDF（两直线平行，同位角相等）。
在△ABC和△DEF中，
$\begin{cases}∠A = ∠EDF, \\AB = DE, \\∠B = ∠E,\end{cases}$
∴ △ABC ≌ △DEF（ASA）。
(2) 解：
由(1)知△ABC≌△DEF，
∴ ∠F = ∠ACB。
∵ AB//DF，
∴ ∠B = ∠BGF = 38°（两直线平行，内错角相等）。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∠ACB = 180° - ∠B - ∠A = 180° - 38° - 82° = 60°，
∴ ∠F = ∠ACB = 60°。
【答案】
(1) 证明成立；(2) ∠F=60°
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定（ASA），三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形的基础应用题型，结合平行线性质与三角形内角和，重点考察学生对全等判定定理及相关性质的掌握，解题思路清晰，步骤明确，属于常规中档题型。
【难度系数】
0.6
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需结合等腰直角三角形的直角性质、垂直的直角条件，利用同角的余角相等推导对应角相等，结合已知边相等，用全等三角形的判定定理证明全等；第(2)问利用第(1)问全等三角形的对应边相等，结合线段和差关系计算AD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠ACD + ∠ECB = 90°。
∵ AD⊥直线l，BE⊥直线l，
∴ ∠ADC = ∠CEB = 90°，
∴ 在Rt△ACD中，∠ACD + ∠DAC = 90°，
∴ ∠DAC = ∠ECB。
在△ACD和△CBE中，
$\begin{cases}∠ADC = ∠CEB \\∠DAC = ∠ECB \\AC = CB\end{cases}$
∴ △ACD ≌ △CBE（AAS）。
(2) 解：
∵ △ACD ≌ △CBE，
∴ CD = BE = 3，AD = CE。
又
∵ CE = CD + DE = 3 + 5 = 8，
∴ AD = 8。
【答案】
(1) △ACD≌△CBE，证明见解析；(2) AD的长为8。
【知识点】
全等三角形的判定（AAS），等腰直角三角形性质，线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形的典型应用，通过垂直条件和直角三角形的余角关系推导对应角相等，结合等腰直角三角形的边相等证明全等，再利用全等的性质求线段长度，属于基础几何题，考查学生对全等判定及性质的掌握。
【难度系数】
0.5
【分析】
要完成这三个证明，我们可逐步利用三角形全等的判定定理推导：
1. 证BD=CE：先通过已知的∠B=∠C、AB=AC，加上公共角∠BAE=∠CAD，证明△ABE≌△ACD，得到AE=AD，再结合AB=AC，用等式性质推出BD=CE；
2. 证△BDF≌△CEF：已有∠B=∠C、BD=CE，加上对顶角∠BFD=∠CFE，用AAS判定定理即可证明；
3. 证AF平分∠BAC：需证∠BAF=∠CAF，由△BDF≌△CEF得BF=CF，再结合AB=AC、∠B=∠C，用SAS证明△ABF≌△ACF，对应角相等即可得结论。
【解析】
(1) 在$△ABE$和$△ACD$中，
$\begin{cases}∠B=∠C, \\AB=AC, \\∠BAE=∠CAD,\end{cases}$
$\therefore △ABE≌△ACD$（ASA），
$\therefore AE=AD$，
又$\because AB=AC$，
$\therefore AB - AD = AC - AE$，即$BD=CE$；
(2) 在$△BDF$和$△CEF$中，
$\begin{cases}∠B=∠C, \\∠BFD=∠CFE, \\BD=CE,\end{cases}$
$\therefore △BDF≌△CEF$（AAS）；
(3) 由(2)知$△BDF≌△CEF$，$\therefore BF=CF$，
在$△ABF$和$△ACF$中，
$\begin{cases}AB=AC, \\∠B=∠C, \\BF=CF,\end{cases}$
$\therefore △ABF≌△ACF$（SAS），
$\therefore ∠BAF=∠CAF$，即AF平分$∠BAC$。
【答案】
11. (1) 在 $△ ABE$ 和 $△ ACD$ 中, $\begin{cases} ∠B=∠C, \\ AB=AC, \\ ∠BAE=∠CAD, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ACD. \therefore AE=AD. \therefore AB-AD=AC-AE$,即$BD=CE$
(2) 在$△ BDF$ 和$△ CEF$ 中,$\begin{cases} ∠B=∠C, \\ ∠BFD=∠CFE, \\ BD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ BDF≌△ CEF$
(3) 由(2),知$△ BDF≌△ CEF,\therefore BF=CF.$在$△ ABF$ 和$△ ACF$ 中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠B=∠C, \\ BF=CF, \end{cases}$$\therefore △ ABF≌△ ACF.$
$\therefore ∠BAF=∠CAF$,即 AF 平分$∠BAC$
【知识点】
三角形全等判定、角平分线定义
【点评】
本题是三角形全等的基础综合题，通过三步递进的证明，考察学生对ASA、AAS、SAS全等判定定理的掌握与运用，逻辑清晰，是巩固全等知识的典型题型。
【难度系数】
0.6
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