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C
③
解：如图，点M即为所求作。

$66°$
解：答案不唯一，如图，$△ ABC$即为所求作。

解：
(1) 如图所示。
(2) 线段$DF$与$AE$平行且相等，理由如下：
∵ 直线$EF$为线段$AD$的垂直平分线，
∴ $OA=OD，$$AF=DF。$
∴ $∠ DAF=∠ ADF。$
∵ $AD$平分$∠ BAC，$
∴ $∠ BAD=∠ FAD。$
∴ $∠ BAD=∠ ADF。$
∴ $AE// DF。$
在$△ AOE$和$△ DOF$中，
$\begin{cases} ∠ EAO=∠ FDO, \\ OA=OD, \\ ∠ AOE=∠ DOF, \end{cases}$
∴ $△ AOE≌△ DOF。$
∴ $AE=DF。$
∴ 线段$DF$与$AE$平行且相等。

【分析】要在BC上确定点P，使PA+PB=BC，结合BC=PB+PC，可将条件转化为PA=PC，即点P到A、C两点的距离相等，因此点P应在AC的垂直平分线上，只需作出AC的垂直平分线，其与BC的交点即为所求的P点，据此分析各选项的作图痕迹是否符合要求。
【解析】因为BC = PB + PC，若PA + PB = BC，则PA = PC，说明点P在AC的垂直平分线上。尺规作AC的垂直平分线，该垂直平分线与BC的交点就是满足条件的点P。逐一分析选项：A选项的作图无法得到PA=PC；B选项的作图与AC的垂直平分线无关；C选项的作图是作AC的垂直平分线，与BC交于P，满足PA=PC，故PA+PB=PC+PB=BC，符合要求；D选项的作图是作AB的垂直平分线，得到PA=PB，不符合条件。
【答案】C
【知识点】尺规作图、垂直平分线的性质
【点评】本题通过转化线段关系，利用垂直平分线的性质确定点的位置，考查了尺规作图的基本方法，关键是将PA+PB=BC转化为PA=PC，进而找到AC的垂直平分线，属于基础几何作图题，需要掌握垂直平分线的作图和性质。
【难度系数】0.5
【分析】首先观察图中的尺规作图痕迹，可知PQ是线段AB的垂直平分线。结合垂直平分线的性质：垂直平分线垂直于线段，且垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，逐一分析各结论是否成立，找出不一定成立的选项。
【解析】根据尺规作图，PQ为线段AB的垂直平分线，据此分析：
1. 垂直平分线垂直于线段AB，而AB在直线l上，因此PQ⊥直线l，结论①成立；
2. 点C在AB的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，故CA=CB，结论②成立；
3. O是AB的中点，但PQ上的点P、Q到O的距离PO和QO，在作图中没有依据证明二者相等，结论③不一定成立；
4. 由垂直平分线性质得PA=PB，又PC为公共边，且已证CA=CB，因此△PCA≌△PCB（SSS），对应角相等，故∠APO=∠BPO，结论④成立。
综上，不一定成立的是③。
【答案】③
【知识点】垂直平分线性质、全等三角形判定
【点评】本题结合尺规作图考查垂直平分线的性质，需熟练运用垂直平分线的性质逐一判断结论，关键是区分“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”与“线段中点到直线两侧点的距离相等”的不同，避免混淆。
【难度系数】0.5
【分析】要找到满足两个条件的点M：①$MC=MD$，根据线段垂直平分线的性质，点M应在线段CD的垂直平分线上；②点M到$∠AOB$两边的距离相等，根据角平分线的性质，点M应在$∠AOB$的角平分线上。因此，只需作出$∠AOB$的角平分线和线段CD的垂直平分线，它们的交点即为所求的点M。
【解析】1. 作$∠AOB$的角平分线：以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA、OB于两点；再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点；过O和该点作射线，即为$∠AOB$的角平分线。2. 作线段CD的垂直平分线：分别以C、D为圆心，大于CD一半的长度为半径画弧，两弧分别交于两点；过这两点作直线，即为线段CD的垂直平分线。3. 上述两条线的交点就是所求的点M，保留作图痕迹即可。
【答案】3. 如图,点M即为所求作
【知识点】角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、尺规作图
【点评】本题结合角平分线和线段垂直平分线的性质，考查尺规作图的基本操作，是几何作图中的基础题型，需掌握两种基本作图的方法。
【难度系数】0.6
【分析】首先观察尺规作图痕迹，确定D是AB的垂直平分线与∠ABC的平分线的交点。根据线段垂直平分线的性质，可得DA=DB，进而推出∠DAB=∠DBA；再利用三角形外角的性质，∠ADE是△ABD的外角，等于∠DAB与∠DBA的和，由此算出∠DBA的度数；接着根据角平分线的定义，得到∠ABC=2∠DBA；最后利用三角形内角和定理，计算出∠ACB的度数。
【解析】由尺规作图痕迹可知，D为AB的垂直平分线与∠ABC的平分线的交点，根据线段垂直平分线的性质，得DA=DB，因此∠DAB=∠DBA。因为∠ADE是△ABD的外角，根据三角形外角性质，∠ADE=∠DAB+∠DBA=64°，所以∠DAB=∠DBA=64°÷2=32°。又因为BE是∠ABC的平分线，所以∠ABC=2∠DBA=2×32°=64°。在△ABC中，根据三角形内角和定理，∠ACB=180°−∠BAC−∠ABC=180°−50°−64°=66°。
【答案】66°
【知识点】线段垂直平分线性质、角平分线定义、三角形内角和定理
【点评】本题结合尺规作图考查几何性质的应用，需要学生从作图痕迹提取关键信息，逐步推导，是中等难度的几何题。
【难度系数】0.5
【分析】要构造顶点B、C在直线l上的等腰直角三角形ABC，可选择直角顶点为直线l上的点C，利用尺规作垂线和等长线段的方法：先过点A作直线l的垂线，确定垂足C；再在直线l上取点B，使BC与AC长度相等，即可得到满足条件的等腰直角三角形。
【解析】1. 用尺规过点A作直线l的垂线，垂足为点C；2. 在直线l上，以点C为圆心，AC的长度为半径画弧，与直线l交于点B；3. 连接AB，△ABC即为符合要求的等腰直角三角形。
【答案】
【知识点】尺规作图、等腰直角三角形
【点评】本题考查基本尺规作图与等腰直角三角形的构造，属于基础作图题，需掌握作垂线、等长线段的尺规操作。
【难度系数】0.6
【分析】
本题分为两小问，第(1)问是尺规作图，需掌握线段垂直平分线的尺规作图方法：分别以点A、D为圆心，以大于$\frac{1}{2}AD$的长度为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线即为AD的垂直平分线EF，该直线与AB交于E，与AC交于F，连接DF即可。第(2)问需猜想并证明DF与AE的关系，先利用垂直平分线的性质得到线段相等和角相等，结合角平分线的性质推导角的关系得到平行，再通过全等三角形的判定证明线段相等，从而得出结论。
【解析】
(1) 尺规作图：分别以A、D为圆心，大于$\frac{1}{2}AD$的长为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两点作直线EF，EF即为线段AD的垂直平分线，EF交AB于E，交AC于F，连接DF，作图痕迹保留，如图所示。
(2) 线段DF与AE平行且相等，理由如下：
∵ EF是线段AD的垂直平分线，
∴ $OA=OD$，$AF=DF$，
∴ $∠DAF=∠ADF$。
∵ AD平分$∠BAC$，
∴ $∠BAD=∠FAD$，
∴ $∠BAD=∠ADF$，
∴ $AE // DF$。
在$△ AOE$和$△ DOF$中，
$\begin{cases}∠EAO=∠FDO, \\OA=OD, \\∠AOE=∠DOF,\end{cases}$
∴ $△ AOE ≌ △ DOF$（ASA），
∴ $AE=DF$，
∴ 线段DF与AE平行且相等。
【答案】
(1) 如图所示；(2) 线段DF与AE平行且相等
【知识点】
线段垂直平分线性质、全等三角形判定、角平分线性质
【点评】
本题结合尺规作图与几何证明，综合考查线段垂直平分线、全等三角形的相关知识，要求学生熟练运用几何定理进行逻辑推导，难度适中，能较好考查学生的作图能力和推理能力。
【难度系数】
0.6
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